Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(9) integral 1t ln t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complexas substituindo partes da integral por uma nova variável. Para resolver, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituida para facilitar o cálculo.

Passo 2

Observamos que no denominador temos u = ln t . Vamos fazer uma substituição para simplificar essa expressão. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculando a derivada de dudt = 1t :
du = 1t , dt Rightarrow dt = t , du
Isso significa que:
Mas como já temos na nossa integral, podemos substituir diretamente.

Passo 4

Substituindo integral 1t ln t , dt = integral 1u , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples!

Passo 5

Agora, calculamos a integral ln |u| + C . A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo ln |ln t| + C :

Resposta

A integral de ln |ln t| + C em relação a é:

Exercícios relacionados