Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Estamos lidando com o conteúdo de cálculo de integrais, especificamente usando o método da integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada:
Nossa ideia é escolher partes da nossa integral original para serem e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa integral:
  • Seja . Assim, precisamos encontrar .
  • Seja . Assim, precisamos encontrar .

Passo 4

Calculando :
Sabemos que a derivada da é . Aplicando a regra da cadeia para :
Calculando :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a integral restante:
Agora, para resolver , podemos usar substituição.

Passo 7

Vamos fazer uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 8

Voltando à expressão original:

Resposta

A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

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