Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(33) integral arc cotg 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de arccot(2x) em relação a x. Estamos lidando com o conteúdo de cálculo de integrais, especificamente usando o método da integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nossa ideia é escolher partes da nossa integral original para serem u e dv de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos identificar u e dv na nossa integral:
  • Seja u = arccot(2x). Assim, precisamos encontrar du.
  • Seja dv = dx. Assim, precisamos encontrar v.

Passo 4

Calculando du:
Sabemos que a derivada da arccot(x) é -11 + x^2. Aplicando a regra da cadeia para arccot(2x):
du = -21 + (2x)^2 dx = -21 + 4x^2 dx
Calculando v:
v = integral dv = integral dx = x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral arccot(2x) dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores:
= arccot(2x) cdot x - integral x cdot (-21 + 4x^2) dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
= x cdot arccot(2x) + 2 integral x1 + 4x^2 dx
Agora, para resolver integral x1 + 4x^2 dx, podemos usar substituição.

Passo 7

Vamos fazer uma substituição:
Seja w = 1 + 4x^2, então dw = 8x dx, ou seja, dw8 = x dx.
Substituindo na integral:
2 integral x1 + 4x^2 dx = 2 cdot 18 integral 1w dw = 14 ln|w| + C = 14 ln(1 + 4x^2) + C

Passo 8

Voltando à expressão original:
integral arccot(2x) dx = x cdot arccot(2x) + 14 ln(1 + 4x^2) + C

Resposta

A integral de arccot(2x) em relação a x é:
integral arccot(2x) dx = x cdot arccot(2x) + 14 ln(1 + 4x^2) + C
onde C é a constante de integração.

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