Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(40) integral sec ^3 x d x

Passo 1

Beleza, bora resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente as técnicas de integração por partes e substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = sec x e dv = sec^2 x , dx
Faz sentido porque a derivada de é simples e a integral de também.

Passo 4

Agora, vamos calcular du = ddx (sec x) , dx = sec x tan x , dx e v = integral sec^2 x , dx = tan x :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sec^3 x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral sec^3 x , dx = sec x cdot tan x - integral tan x cdot sec x tan x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - integral sec x tan^2 x , dx

Passo 6

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar tan^2 x = sec^2 x - 1 :
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - integral sec x (sec^2 x - 1) , dx
Substituindo na integral:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - integral sec^3 x , dx + integral sec x , dx
Distribuindo o 2 integral sec^3 x , dx = sec x tan x + integral sec x , dx :
integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C
Agora, vamos juntar as integrais semelhantes:
2 integral sec^3 x , dx = sec x tan x + ln |sec x + tan x| + C
Sabemos que:
integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| + C
Então, substituindo:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| + C

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