Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(27) integral arctg tg d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. Precisamos calcular a integral de em relação a arctg(tg x). Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e suas inversas, além de técnicas de integração básicas como substituição.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão . Sabemos que a função tangente, , tem um período de arctg(tg x) e (ou tg x) é a função inversa da tangente no intervalo pi. Portanto, quando arctg está dentro desse intervalo, .

Passo 3

Com essa simplificação, a integral fica mais fácil:

Passo 4

Agora, vamos integrar x em relação a x. A integral de x é uma aplicação direta da regra de potência:
integral x , dx = 12x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de em relação a arctg(tg x) é:
x

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