Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(32) integral cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente nos métodos de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos usar o método da substituição, que é super útil quando a integral tem uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^3 x = (1 - sin^2 x) cdot cos x de uma forma que facilite a integração. Sabemos que . Agora, usando a identidade trigonométrica , podemos substituir:

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral:
integral cos^3 x , dx = integral (1 - sin^2 x) cdot cos x , dx
Aqui, percebemos que temos uma função multiplicada pela sua derivada, o que é perfeito para o método da substituição.

Passo 4

Vamos fazer a substituição. Seja dudx = cos x implies du = cos x , dx . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral (1 - u^2) , du
Agora, essa integral está muito mais simples de resolver.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltando à variável original u - u^33 + C = sin x - sin^3 x3 + C , lembrando que :

Resposta

A integral de integral cos^3 x , dx = sin x - sin^3 x3 + C é:

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