Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(22) integral x ln 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que vamos chamar de e , seguindo a fórmula da integração por partes: .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será u = ln 3x e o que será dv = x , dx . Geralmente, escolhemos para ser a parte que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx (ln 3x) , dx e du = 1x , dx . Para encontrar v = integral x , dx = x^22 , derivamos em relação a :
Lembrando que , então:
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora que temos integral u , dv = uv - integral v , du , integral x ln 3x , dx = ln 3x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx , , podemos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx
Agora, vamos integrar integral x2 , dx = 12 cdot x^22 = x^24 :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x ln 3x , dx = x^22 ln 3x - x^24 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral x^22 ln 3x - x^24 + C é igual a:

Exercícios relacionados