Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(8) integral x e^3 x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método da substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observando a expressão u = 3x^2 , percebemos que o exponente pode ser uma boa candidata para substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 6x Rightarrow du = 6x , dx em relação a x , dx = 16 , du para encontrar :
Queremos expressar tudo em termos de , então isolamos :

Passo 4

Substituímos integral x e^3x^2 , dx = integral e^u cdot 16 , du = 16 integral e^u , du e na integral original:

Passo 5

Agora, integramos 16 integral e^u , du = 16 e^u + C em relação a . A integral de é simplesmente :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 16 e^u + C = 16 e^3x^2 + C de volta para para obter a resposta em termos de :

Resposta

integral x e^3x^2 , dx = 16 e^3x^2 + C

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