Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(35) integral ln ^3 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão é de cálculo integral, especificamente usando o método da substituição ou integração por partes. Para resolver, vamos usar integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes vão ser e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivar e como o que resta.

Passo 3

Vamos definir:
u = ln^3(2x) Rightarrow du = 3 ln^2(2x) cdot 22x , dx = 3 ln^2(2x)x , dx
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln^3(2x) , dx = u cdot v - integral v , du = x ln^3(2x) - integral x cdot 3 ln^2(2x)x , dx
Simplificando:
= x ln^3(2x) - 3 integral ln^2(2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral u = ln^2(2x) Rightarrow du = 2 ln(2x) cdot 22x , dx = 2 ln(2x)x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral.
Definindo:
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
integral ln^2(2x) , dx = x ln^2(2x) - integral x cdot 2 ln(2x)x , dx
Simplificando:
= x ln^2(2x) - 2 integral ln(2x) , dx

Passo 7

Agora, calculamos u = ln(2x) Rightarrow du = 22x , dx = 1x , dx . Mais uma vez, usaremos integração por partes.
Definindo:
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 8

Aplicando a integração por partes:
integral ln(2x) , dx = x ln(2x) - integral x cdot 1x , dx
Simplificando:
= x ln(2x) - integral 1 , dx = x ln(2x) - x

Passo 9

Voltando à etapa anterior:
integral ln^2(2x) , dx = x ln^2(2x) - 2 (x ln(2x) - x) = x ln^2(2x) - 2x ln(2x) + 2x

Passo 10

Agora, substituímos esse resultado na expressão original:
integral ln^3(2x) , dx = x ln^3(2x) - 3 (x ln^2(2x) - 2x ln(2x) + 2x)
Distribuindo o -3:
= x ln^3(2x) - 3x ln^2(2x) + 6x ln(2x) - 6x

Resposta

A integral x ln^3(2x) - 3x ln^2(2x) + 6x ln(2x) - 6x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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