Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(4) integral e^1 / x+2x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral:
integral e^1 / x + 2x^2 , dx
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complexas ao substituir uma parte da integral por uma nova variável.
O que vamos precisar: Conhecer as regras básicas de derivação e integração, especialmente como fazer substituições adequadas para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a integração. Observe que dentro da exponencial temos u = 1x . Vamos escolher:
du = -1x^2 , dx implies -du = 1x^2 , dx
Agora, vamos derivar 1x^2 , dx = -du em relação a para encontrar :
Isso nos permite reescrever em termos de :

Passo 3

Substituindo integral e^1 / x + 2x^2 , dx = integral (e^u + 2) cdot 1x^2 , dx = integral (e^u + 2)(-du) e - integral (e^u + 2) , du = -integral e^u , du - integral 2 , du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- integral e^u , du = -e^u + C1
- integral 2 , du = -2u + C2
Onde - e^u - 2u + C e são constantes de integração. Podemos combinar as constantes em uma única constante :

Passo 5

Agora, substituímos de volta - e^1/x - 2 ( 1x ) + C = - e^1/x - 2x + C :

Resposta

integral e^1 / x + 2x^2 , dx = -e^1/x - 2x + C

Exercícios relacionados