Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente os métodos de substituição e integração por partes. Precisaremos escolher o melhor método para simplificar a integral e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função dentro da integral:
. Notamos que
aparece tanto no logaritmo quanto na raiz quadrada. Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
Vamos resolver
usando a integração por partes. Lembre-se que a integração por partes segue a fórmula:
Passo 6
Identificamos as partes para aplicar a integração por partes:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Passo 8
Resolvendo a última integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando à substituição original
:
E não esquecendo de multiplicar pelo fator
que tínhamos fora da integral:
Podemos simplificar mais:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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