Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
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Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente os métodos de substituição e integração por partes. Precisaremos escolher o melhor método para simplificar a integral e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função dentro da integral: . Notamos que aparece tanto no logaritmo quanto na raiz quadrada. Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar em termos de :

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
Vamos resolver usando a integração por partes. Lembre-se que a integração por partes segue a fórmula:

Passo 6

Identificamos as partes para aplicar a integração por partes:

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
Simplificando a segunda integral:

Passo 8

Resolvendo a última integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando à substituição original :
E não esquecendo de multiplicar pelo fator que tínhamos fora da integral:
Podemos simplificar mais:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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