Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(34) integral ln (a x+b)raiza x+b d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente os métodos de substituição e integração por partes. Precisaremos escolher o melhor método para simplificar a integral e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função dentro da integral: . Notamos que aparece tanto no logaritmo quanto na raiz quadrada. Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
u = a x + b
Agora, precisamos encontrar du = a , dx Rightarrow dx = dua em termos de :

Passo 4

Substituindo integral ln(a x + b)raiza x + b , dx = integral ln(u)raizu cdot dua = 1a integral ln(u)raizu , du e na integral original:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
1a integral ln(u)raizu , du
Vamos resolver integral u , dv = u , v - integral v , du usando a integração por partes. Lembre-se que a integração por partes segue a fórmula:

Passo 6

Identificamos as partes para aplicar a integração por partes:
v = ln(u) Rightarrow dv = 1u du dw = 1raizu du Rightarrow w = 2raizu

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
integral ln(u)raizu , du = ln(u) cdot 2raizu - integral 2raizu cdot 1u du
Simplificando a segunda integral:
ln(u) cdot 2raizu - 2 integral raizuu du = 2raizu ln(u) - 2 integral u^-1/2 du

Passo 8

Resolvendo a última integral:
2raizu ln(u) - 2 cdot ( u^1/21/2 ) + C = 2raizu ln(u) - 4raizu + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando à substituição original 2raiza x + b ln(a x + b) - 4raiza x + b + C :
1a ( 2raiza x + b ln(a x + b) - 4raiza x + b ) + C
E não esquecendo de multiplicar pelo fator 2a raiza x + b ln(a x + b) - 4a raiza x + b + C que tínhamos fora da integral:
Podemos simplificar mais:

Resposta

A integral 2a raiza x + b ln(a x + b) - 4a raiza x + b + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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