Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais que utilizam métodos como substituição ou integração por partes. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos um produto de funções, como é o caso aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Ou seja, a gente escolhe uma parte da função para ser e a outra para ser , e então aplica a fórmula para simplificar a integral.

Passo 3

No nosso caso, vamos identificar qual parte da integral vai ser e qual vai ser . Geralmente, a gente escolhe como a parte que fica mais simples quando derivada. Então aqui:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse termo.
Novamente, escolhendo:

Passo 7

Calculando e para essa nova integração:
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 8

Aplicando novamente a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
E sabemos que , então:

Passo 9

Voltando para a nossa expressão anterior:
Substituímos a integral que acabamos de resolver:

Passo 10

Agora, vamos simplificar essa expressão:
Expandindo :
Então:

Passo 11

Finalmente, não podemos esquecer da constante de integração , que sempre aparece nas integrais indefinidas. Então, a resposta completa fica:

Resposta

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