Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais que utilizam métodos como substituição ou integração por partes. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos um produto de funções, como é o caso aqui com
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Ou seja, a gente escolhe uma parte da função para ser
e a outra para ser
, e então aplica a fórmula para simplificar a integral.
Passo 3
No nosso caso, vamos identificar qual parte da integral vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, a gente escolhe
como a parte que fica mais simples quando derivada. Então aqui:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
:
- Integrando
para encontrar :
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse termo.
Novamente, escolhendo:
Passo 7
Calculando
e
para essa nova integração:
- Derivando
:
- Integrando
:
Passo 8
Aplicando novamente a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
E sabemos que
, então:
Passo 9
Voltando para a nossa expressão anterior:
Substituímos a integral que acabamos de resolver:
Passo 10
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Expandindo
:
Então:
Passo 11
Finalmente, não podemos esquecer da constante de integração
, que sempre aparece nas integrais indefinidas. Então, a resposta completa fica:
Resposta
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Resolva o seguinte problema de valor inicial: