Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(38) integral(x+3)^2 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais que utilizam métodos como substituição ou integração por partes. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos um produto de funções, como é o caso aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Ou seja, a gente escolhe uma parte da função para ser e a outra para ser , e então aplica a fórmula para simplificar a integral.

Passo 3

No nosso caso, vamos identificar qual parte da integral vai ser u = (x + 3)^2 e dv = e^x , dx e qual vai ser . Geralmente, a gente escolhe como a parte que fica mais simples quando derivada. Então aqui:

Passo 4

Agora, vamos calcular du = ddx (x + 3)^2 , dx = 2(x + 3) , dx e v = integral e^x , dx = e^x :
  • Derivando :
  • Integrando para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral (x + 3)^2 e^x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (x + 3)^2 e^x - integral e^x cdot 2(x + 3) , dx
Simplificando:
= (x + 3)^2 e^x - 2 integral (x + 3) e^x , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a nova integral u = (x + 3) e dv = e^x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse termo.
Novamente, escolhendo:

Passo 7

Calculando du = ddx (x + 3) , dx = 1 , dx e v = integral e^x , dx = e^x para essa nova integração:
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 8

Aplicando novamente a fórmula da integração por partes:
integral (x + 3) e^x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= (x + 3) e^x - integral e^x cdot 1 , dx
Simplificando:
= (x + 3) e^x - integral e^x , dx
E sabemos que = (x + 3) e^x - e^x = e^x(x + 3 - 1) = e^x(x + 2) , então:

Passo 9

Voltando para a nossa expressão anterior:
integral (x + 3)^2 e^x , dx = (x + 3)^2 e^x - 2 integral (x + 3) e^x , dx
Substituímos a integral que acabamos de resolver:
= (x + 3)^2 e^x - 2 cdot e^x(x + 2)

Passo 10

Agora, vamos simplificar essa expressão:
= e^x (x + 3)^2 - 2 e^x (x + 2) = e^x [(x + 3)^2 - 2(x + 2)]
Expandindo (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 :
= e^x [x^2 + 6x + 9 - 2x - 4] = e^x (x^2 + 4x + 5)
Então:

Passo 11

Finalmente, não podemos esquecer da constante de integração , que sempre aparece nas integrais indefinidas. Então, a resposta completa fica:

Resposta

integral (x + 3)^2 e^x , dx = e^x (x^2 + 4x + 5) + C

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