Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(36)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é produto de duas funções, como nesse caso. Vamos precisar identificar quais partes da integral serão e para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
e
A derivada de simplifica o polinômio e a integral de é direta.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral usando novamente a integração por partes. Vamos escolher:
e

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos mais uma vez com integração por partes. Escolhemos:
e

Passo 8

Aplicando a fórmula:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 9

Voltando ao Passo 6:
Simplificando:

Passo 10

Agora, substituímos essa expressão de volta no Passo 4:
Distribuindo a :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Resolva as integrais indefinidas a seguir: