Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(36) integral x^3 sin 4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é produto de duas funções, como nesse caso. Vamos precisar identificar quais partes da integral serão e para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 , dx
e
dv = sin 4x , dx Rightarrow v = -14 cos 4x
A derivada de simplifica o polinômio e a integral de é direta.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^3 sin 4x , dx = uv - integral v , du
Substituindo = x^3 ( -14 cos 4x ) - integral ( -14 cos 4x ) cdot 3x^2 , dx , = -14 x^3 cos 4x + 34 integral x^2 cos 4x , dx , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx usando novamente a integração por partes. Vamos escolher:
dv = cos 4x , dx Rightarrow v = 14 sin 4x
e

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x^2 cos 4x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= x^2 ( 14 sin 4x ) - integral 14 sin 4x cdot 2x , dx
Simplificando:
= 14 x^2 sin 4x - 12 integral x sin 4x , dx

Passo 7

Agora, resolvemos u = x Rightarrow du = dx mais uma vez com integração por partes. Escolhemos:
dv = sin 4x , dx Rightarrow v = -14 cos 4x
e

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral x sin 4x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= x ( -14 cos 4x ) - integral -14 cos 4x cdot dx
Simplificando:
= -14 x cos 4x + 116 sin 4x

Passo 9

Voltando ao Passo 6:
integral x^2 cos 4x , dx = 14 x^2 sin 4x - 12 ( -14 x cos 4x + 116 sin 4x )
Simplificando:
= 14 x^2 sin 4x + 18 x cos 4x - 132 sin 4x

Passo 10

Agora, substituímos essa expressão de volta no Passo 4:
integral x^3 sin 4x , dx = -14 x^3 cos 4x + 34 ( 14 x^2 sin 4x + 18 x cos 4x - 132 sin 4x ) + C
Distribuindo a = -14 x^3 cos 4x + 316 x^2 sin 4x + 332 x cos 4x - 3128 sin 4x + C :

Resposta

A integral -14 x^3 cos 4x + 316 x^2 sin 4x + 332 x cos 4x - 3128 sin 4x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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