Resolva o seguinte problema de valor inicial:

Passo 1

Vamos resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O enunciado nos dá a derivada de em relação a e um valor específico de quando . Para resolver, vamos precisar integrar a função dada e aplicar a condição inicial para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo:
Para facilitar a integração, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo:
Primeiro, reescrevemos a expressão:
A integral de é:
Portanto:

Passo 5

Juntando as integrais, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial :
Simplificando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(36)
Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(38)
Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Dada a função
determine a derivada de em relação a .