Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Vamos resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O enunciado nos dá a derivada de
em relação a
e um valor específico de
quando
. Para resolver, vamos precisar integrar a função dada e aplicar a condição inicial para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar o primeiro termo:
Para facilitar a integração, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo termo:
Primeiro, reescrevemos a expressão:
A integral de
é:
Portanto:
Passo 5
Juntando as integrais, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Dada a função
determine a derivada de
em relação a
.