Resolva as integrais indefinidas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e também converter a base do logaritmo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que podemos converter logaritmos de qualquer base para a base natural ( ) usando a fórmula:
Aplicando isso no nosso caso:

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
Então, nossa nova integral para resolver é .

Passo 4

Para resolver , vamos usar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a integral restante:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Substituindo de volta:

Passo 7

Lembrando que tínhamos um fator fora da integral original, voltamos a ele:

Resposta

A integral indefinida é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(36)
Dada a função
determine a derivada de em relação a .
Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral: