Resolva as integrais indefinidas a seguir: integral x log 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e também converter a base do logaritmo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão loga b = ln bln a . Sabemos que podemos converter logaritmos de qualquer base para a base natural ( log2 x = ln xln 2 ) usando a fórmula:
Aplicando isso no nosso caso:

Passo 3

Agora, substituímos integral x log2 x , dx = integral x cdot ln xln 2 , dx = 1ln 2 integral x ln x , dx na integral original:
Então, nossa nova integral para resolver é .

Passo 4

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
u = ln x Rightarrow du = 1x , dx
Vamos escolher:
dv = x , dx Rightarrow v = x^22

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
ln x cdot x^22 - 12 integral x , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar integral x , dx = x^22 + C :
ln x cdot x^22 - 12 cdot x^22 + C = x^2 ln x2 - x^24 + C
Substituindo de volta:

Passo 7

Lembrando que tínhamos um fator 1ln 2 ( x^2 ln x2 - x^24 ) + C = x^2 ln x2 ln 2 - x^24 ln 2 + C fora da integral original, voltamos a ele:

Resposta

A integral indefinida x^2 ln x2 ln 2 - x^24 ln 2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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