Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e também converter a base do logaritmo para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que podemos converter logaritmos de qualquer base para a base natural (
) usando a fórmula:
Aplicando isso no nosso caso:
Passo 3
Agora, substituímos
na integral original:
Então, nossa nova integral para resolver é
.
Passo 4
Para resolver
, vamos usar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Lembrando que tínhamos um fator
fora da integral original, voltamos a ele:
Resposta
A integral indefinida
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(36)
(36)
Dada a função
determine a derivada de
em relação a
.
Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral: