Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(1) integral xraiz[5]x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular . Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especialmente os métodos de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos usar o método da substituição, que é ótimo para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral. Olhando para o denominador , podemos pensar em substituir . Isso vai facilitar nossa vida!

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para encontrar :
Perceba que já temos um na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição!

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão de x , dx = du2 para isolar integral xraiz[5]x^2-1 , dx = integral 1u^1/5 cdot du2 :
12 integral u^-1/5 , du
Agora, substituímos e na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-1/5 , du = u^4/54/5 + C = 54 u^4/5 + C em relação a . Lembre-se que quando integramos , o resultado é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Agora, não esqueçamos do fator 12 cdot 54 u^4/5 + C = 58 u^4/5 + C que tínhamos no início:

Passo 7

Por último, vamos voltar para a variável original 58 (x^2 - 1)^4/5 + C , substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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