Determinar os seguintes limites com o auxílio das regras de L(15) lim x 0^+ ln (sen a x)ln (sen x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular usando as regras de L’Hospital. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como limx 0^+ ln (sen(a x))ln (sen x) ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte do limite quando sen(a x) approx a x e sen x approx x se aproxima de 0 pela direita ( ln (sen(a x))ln (sen x) approx ln(a x)ln(x) ).
Sabemos que, para valores pequenos de , podemos aproximar por . Ou seja:
Então, substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração usando propriedades dos logaritmos:
ln(a x)ln(x) = ln a + ln xln x = 1 + ln aln x
À medida que se aproxima de 0, tende a . Portanto, o termo tende a 0, porque estamos dividindo um número constante ( ) por algo que vai para .

Passo 4

Assim, o limite simplificado fica:
limx 0^+ (1 + ln aln x) = 1 + 0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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