Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral0^pi3 4 sec (u) tan (u) d u ; 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Vamos precisar encontrar a antiderivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como encontrar a antiderivada de ddu sec(u) = sec(u) tan(u) . Sabemos que:
integral 4 sec(u) tan(u) , du = 4 sec(u) + C
Isso significa que a antiderivada de é simplesmente . Então, para a nossa função multiplicada por 4, temos:

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular a diferença da antiderivada nos limites de integração. Ou seja:
integral0^pi3 4 sec(u) tan(u) , du = 4 sec(pi3) - 4 sec(0)

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente. Sabemos que:
sec(pi3) = 1cos(pi3) = 112 = 2
E também:
sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1

Resposta

Substituindo os valores encontrados:
4 cdot 2 - 4 cdot 1 = 8 - 4 = 4
Então, o valor da integral é 4.

Exercícios relacionados