Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral0^4 3 x-x^34 d x ; 8

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer: temos que calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 4. Isso significa que vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Para isso, vamos precisar achar a primitiva da função (ou seja, a antiderivada) e depois avaliar essa primitiva nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primitiva da função integral (3x - x^34) dx = integral 3x , dx - integral x^34 , dx . Lembre-se que a primitiva de uma soma é a soma das primitivas. Então, a gente divide a integral em duas partes:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de integral 3x , dx = 3 integral x , dx = 3 cdot x^22 = 3x^22 :
integral x^34 , dx = 14 integral x^3 , dx = 14 cdot x^44 = x^416
  1. Integral de :

Passo 4

Então, colocando tudo junto, a primitiva da função é:
F(x) = 3x^22 - x^416

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que vamos avaliar integral0^4 (3x - x^34) dx = F(4) - F(0) nos limites de 4 e 0 e depois subtrair:

Passo 6

Vamos calcular F(4) = 3 cdot 4^22 - 4^416 = 3 cdot 162 - 25616 = 482 - 16 = 24 - 16 = 8 e F(0) = 3 cdot 0^22 - 0^416 = 0 - 0 = 0 :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Resposta

Portanto,
integral0^4 (3x - x^34) dx = 8

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