Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente a divisão de polinômios e integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar saber como dividir polinômios e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral fazendo a divisão dos polinômios no numerador e no denominador. Olha só:
Isso facilita muito, porque agora a integral fica mais simples de resolver.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com a expressão simplificada:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

A primeira parte é fácil:
Agora, vamos para a segunda parte: .
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a técnica de frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C.

Passo 6

Escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :
  1. Para encontrar A, podemos expandir a equação geral:
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de : , confirma.

Passo 7

Agora que temos A, B e C:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos substituir de volta na integral:
Distribuindo o -4:

Passo 9

Juntando tudo, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Calcule as integrais indefinidas:
Determine uma primitiva para cada função: