Resolva as integrais indefinidas abaixo: integral x^3-2 x^2-4x^3-2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida:
integral x^3-2 x^2-4x^3-2 x^2 , dx
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente a divisão de polinômios e integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar saber como dividir polinômios e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral fazendo a divisão dos polinômios no numerador e no denominador. Olha só:
x^3-2 x^2-4x^3-2 x^2 = (x^3-2 x^2) -4x^3-2 x^2 = 1 - 4x^3-2 x^2
Isso facilita muito, porque agora a integral fica mais simples de resolver.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com a expressão simplificada:
integral (1 - 4x^3-2 x^2 ) , dx = integral 1 , dx - 4 integral 1x^3-2 x^2 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

A primeira parte é fácil:
integral 1 , dx = x
Agora, vamos para a segunda parte: x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) .
Primeiro, fatoramos o denominador:
integral 1x^2(x - 2) , dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a técnica de frações parciais. Queremos escrever:
1x^2(x - 2) = Ax + Bx^2 + Cx - 2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A x (x - 2) + B (x - 2) + C x^2 , temos:
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C.

Passo 6

Escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  1. Se 1 = A cdot 0 cdot (-2) + B (-2) + C cdot 0 Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12 :
1 = A cdot 2 cdot 0 + B cdot 0 + C cdot 4 Rightarrow 1 = 4C Rightarrow C = 14
  1. Se 1 = A x^2 - 2A x + B x - 2B + C x^2 :
  1. Para encontrar A, podemos expandir a equação geral:
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de : , confirma.

Passo 7

Agora que temos A, B e C:
1x^2(x - 2) = -14x + -12x^2 + 14x - 2
Simplificando:
1x^2(x - 2) = -14x - 12x^2 + 14(x - 2)

Passo 8

Agora, vamos substituir de volta na integral:
-4 integral 1x^2(x - 2) , dx = -4 integral ( -14x - 12x^2 + 14(x - 2) ) , dx
Distribuindo o -4:
-4 ( -14 ln|x| + 12x - 14 ln|x - 2| ) = ln|x| - 2x + ln|x - 2|

Passo 9

Juntando tudo, temos:
integral x^3-2 x^2-4x^3-2 x^2 , dx = x + ln|x| - 2x + ln|x - 2| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
x + ln|x| - 2x + ln|x - 2| + C

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