Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente a divisão de polinômios e integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar saber como dividir polinômios e aplicar as regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral fazendo a divisão dos polinômios no numerador e no denominador. Olha só:
Isso facilita muito, porque agora a integral fica mais simples de resolver.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral com a expressão simplificada:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 4
A primeira parte é fácil:
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos a técnica de frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C.
Passo 6
Escolhemos valores de x que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
- Para encontrar A, podemos expandir a equação geral:
Comparando os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: , confirma.
Passo 7
Agora que temos A, B e C:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos substituir de volta na integral:
Distribuindo o -4:
Passo 9
Juntando tudo, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a:
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Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Calcule as integrais indefinidas:
Determine uma primitiva para cada função: