Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral2^1 1x-e^-x d x cdot ln (2)+1e^2-1e

Passo 1

Enunciado: Precisamos calcular a expressão:
integral2^1 ( 1x - e^-x ) dx cdot ln(2) + 1e^2 - 1e
Matéria: Cálculo Integral, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo.
O que vamos precisar: Saber encontrar antiderivadas de funções básicas e entender como aplicar os limites de integração usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral definida:
integral2^1 ( 1x - e^-x ) dx
Teorema Fundamental do Cálculo: Para uma função contínua integrala^b f(x) dx = F(b) - F(a) em , temos:
onde é uma antiderivada de .

Passo 3

Encontramos as antiderivadas das funções dentro da integral:
  1. F(x) = ln|x| + e^-x
Portanto, uma antiderivada para é:

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo aos limites de 2 a 1:
integral2^1 ( 1x - e^-x ) dx = F(1) - F(2) = ( ln(1) + e^-1 ) - ( ln(2) + e^-2 )

Passo 5

Sabemos que 0 + 1e - ln(2) - 1e^2 = 1e - ln(2) - 1e^2 , então simplificamos:

Passo 6

Agora, multiplicamos esse resultado por ( 1e - ln(2) - 1e^2 ) cdot ln(2) + 1e^2 - 1e e adicionamos os últimos termos da expressão original:

Passo 7

Distribuindo ln(2)e - (ln(2))^2 - ln(2)e^2 + 1e^2 - 1e na expressão:

Resposta

Após simplificar, a expressão final é:
ln(2) - 1 e - (ln(2))^2 + 1 - ln(2)e^2

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