Usando a mesma ideia de soma no conjunto quociente , como você construiria uma tabela de multiplicação de classes? Faça também uma tabela de multiplicação para .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa construir tabelas de multiplicação para os conjuntos quocientes e . Isso está relacionado à matéria de Álgebra, especificamente em torno de conjuntos quocientes e operações módulo. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as classes de equivalência nesses conjuntos e como aplicar a multiplicação entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Esse conjunto representa os restos da divisão dos inteiros por . Ou seja, tem as classes , onde cada classe contém todos os inteiros que deixam aquele resto quando divididos por . O mesmo vale para , com as classes .

Passo 3

Agora, para multiplicar duas classes em , a gente multiplica os representantes dessas classes e depois pega o resto da divisão desse produto por . Matemáticamente, se temos e em , então:
Isso garante que o resultado também pertença a uma classe em .

Passo 4

Vamos começar com . As classes são . Vamos multiplicar cada par dessas classes seguindo a regra que discutimos.

Passo 5

Construindo a tabela de multiplicação para :
× [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4]
[2] [0] [2] [4] [1] [3]
[3] [0] [3] [1] [4] [2]
[4] [0] [4] [3] [2] [1]

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para . As classes são . Vamos multiplicar cada par dessas classes seguindo a mesma regra.

Passo 7

Construindo a tabela de multiplicação para :
× [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[2] [0] [2] [4] [0] [2] [4]
[3] [0] [3] [0] [3] [0] [3]
[4] [0] [4] [2] [0] [4] [2]
[5] [0] [5] [4] [3] [2] [1]

Resposta

As tabelas de multiplicação construídas para os conjuntos quocientes são:
× [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4]
[2] [0] [2] [4] [1] [3]
[3] [0] [3] [1] [4] [2]
[4] [0] [4] [3] [2] [1]
× [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[2] [0] [2] [4] [0] [2] [4]
[3] [0] [3] [0] [3] [0] [3]
[4] [0] [4] [2] [0] [4] [2]
[5] [0] [5] [4] [3] [2] [1]

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Verifique se é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial tal que .
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