Em qual ponto a reta normal ao parabolóide em intercepta
parabolóide uma segunda o parabolóide uma segunda vez?

Passo 1

Então, a gente tem um paraboloide dado pela equação e queremos encontrar onde a reta normal a esse paraboloide no ponto cruza o paraboloide novamente. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial, especificamente sobre vetores normais e equações de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao paraboloide no ponto dado. O vetor normal é perpendicular à superfície naquele ponto. Para isso, derivamos a equação do paraboloide em relação a e para encontrar as derivadas parciais.
A equação do paraboloide é .
Derivando parcialmente em relação a :
Derivando parcialmente em relação a :
Então, o vetor normal no ponto é dado por:

Passo 3

Com o vetor normal, podemos escrever a equação da reta normal que passa pelo ponto . A equação paramétrica da reta é:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar onde essa reta intersecta o paraboloide novamente. Para isso, substituímos as expressões de , e da reta na equação do paraboloide :
Simplificando os termos:
Expandiendo o quadrado:

Passo 5

Agora, colocamos tudo para um lado da equação para resolver a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
  1. → que corresponde ao ponto inicial

Passo 6

Vamos usar para encontrar as coordenadas do segundo ponto de interseção:

Resposta

A reta normal ao paraboloide no ponto intercepta o paraboloide novamente no ponto .

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