Seja
Verifique se
é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial
tal que
.
Passo 1
Então, vamos lá! Você me enviou um exercício que envolve um campo vetorial
. O objetivo aqui é verificar se esse campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como calcular o rotacional desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar: um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
. Isso significa que existe uma função
tal que:
Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional do campo é zero. Ou seja:
Então, para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional dele e ver se resulta no vetor nulo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 4
Como todas as componentes do rotacional
resultaram em zero, concluímos que o rotacional de
é nulo. Portanto,
é um campo conservativo nas regiões onde as condições de região simplesmente conexa são satisfeitas (ou seja, sem “buracos” que poderiam impedir a existência de uma função potencial).
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que
. Para isso, vamos integrar as componentes de
em relação às suas variáveis correspondentes.
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Integrando em
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
porque a derivada em
elimina essa dependência.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Integrando em
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Por fim, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
:
Então:
Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Resposta
A função potencial
que satisfaz
é: