Seja
G(x, y, z)=(z e^1 / y-1x^3 / 2) imath+(1y z^2-x z e^1 / yy^2) jmath+(x e^1 / y-2 ln (y)z^3) k
Verifique se G é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial U tal que G=nabla U.

Passo 1

Então, vamos lá! Você me enviou um exercício que envolve um campo vetorial . O objetivo aqui é verificar se esse campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial tal que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como calcular o rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar G = nabla U = ( partial Upartial x, partial Upartial y, partial Upartial z ) . Isso significa que existe uma função nabla times G = 0 tal que:
Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional do campo é zero. Ou seja:
Então, para verificar se é conservativo, vamos calcular o rotacional dele e ver se resulta no vetor nulo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z, partial Gxpartial z - partial Gzpartial x, partial Gypartial x - partial Gxpartial y ) . O rotacional de um campo vetorial Gx = z e^1 / y - 1x^3/2, Gy = 1y z^2 - x z e^1 / yy^2, Gz = x e^1 / y - 2 ln(y)z^3 é dado por:
partial Gzpartial y = partialpartial y ( x e^1/y - 2 ln(y)z^3 ) = x cdot ( -1y^2 e^1/y ) - 2y z^3
Vamos identificar as componentes de partial Gypartial z = partialpartial z ( 1y z^2 - x z e^1/yy^2 ) = -2y z^3 - x e^1/yy^2 :
Primeira componente do rotacional = ( -xy^2 e^1/y - 2y z^3 ) - ( -2y z^3 - x e^1/yy^2 ) = 0
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
partial Gxpartial z = partialpartial z ( z e^1/y - 1x^3/2 ) = e^1/y
partial Gzpartial x = partialpartial x ( x e^1/y - 2 ln(y)z^3 ) = e^1/y
Segunda componente do rotacional = e^1/y - e^1/y = 0
  1. Segunda componente:
partial Gypartial x = partialpartial x ( 1y z^2 - x z e^1/yy^2 ) = -z e^1/yy^2
partial Gxpartial y = partialpartial y ( z e^1/y - 1x^3/2 ) = z cdot ( -1y^2 e^1/y ) = -z e^1/yy^2
Terceira componente do rotacional = -z e^1/yy^2 - ( -z e^1/yy^2 ) = 0
  1. Terceira componente:

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional resultaram em zero, concluímos que o rotacional de é nulo. Portanto, é um campo conservativo nas regiões onde as condições de região simplesmente conexa são satisfeitas (ou seja, sem “buracos” que poderiam impedir a existência de uma função potencial).

Passo 5

Agora que sabemos que Gx = partial Upartial x = z e^1/y - 1x^3/2 é conservativo, podemos encontrar a função potencial U = integral ( z e^1/y - 1x^3/2 ) dx = z e^1/y x + 2raizx + h(y, z) tal que . Para isso, vamos integrar as componentes de em relação às suas variáveis correspondentes.
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Integrando em :
Aqui, é uma função que pode depender de e porque a derivada em elimina essa dependência.

Passo 6

Agora, vamos derivar partial Upartial y = partialpartial y ( z e^1/y x + 2raizx + h(y, z) ) = z cdot ( -1y^2 e^1/y ) x + partial hpartial y em relação a -z x e^1/yy^2 + partial hpartial y = 1y z^2 - x z e^1/yy^2 e igualar a partial hpartial y = 1y z^2 :
h(y, z) = integral 1y z^2 dy = ln(y)z^2 + g(z)
Igualando a :
Simplificando:
Integrando em :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Por fim, vamos derivar partial Upartial z = partialpartial z ( z e^1/y x + 2raizx + ln(y)z^2 + g(z) ) = e^1/y x - 2 ln(y)z^3 + g'(z) em relação a e^1/y x - 2 ln(y)z^3 + g'(z) = x e^1/y - 2 ln(y)z^3 e igualar a g'(z) = 0 Rightarrow g(z) = constante :
Igualando a :
Então:
Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.

Resposta

A função potencial U(x, y, z) = z e^1/y x + 2raizx + ln(y)z^2 que satisfaz é:

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