Beleza, vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, ou seja, primeiro integrar em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Nessa parte, estamos integrando em relação a , e é tratado como uma constante porque a integração está sendo feita em relação a .
Passo 3
Para integrar em relação a , lembramos que a integral de em relação a é . Aplicando essa regra:
Passo 4
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de e :
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa, que é em relação a integral0^2 ( x^43 - x^103 ) dx :
13 integral0^2 ( x^4 - x^10 ) dx
Podemos fatorar o para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de 13 ( integral x^4 , dx - integral x^10 , dx ) = 13 ( x^55 - x^1111 ) em relação a é :
Passo 7
Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de 13 ( x^55 |0^2 - x^1111 |0^2 ) = 13 ( 2^55 - 2^1111 ) a = 13 ( 325 - 204811 ) :
Calculando as potências:
Resposta
A integral é igual a , que simplifica para aproximadamente .