Calcule as integrais a seguir:
b) integral0^2 integralx^3^x x y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, ou seja, primeiro integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Nessa parte, estamos integrando em relação a , e é tratado como uma constante porque a integração está sendo feita em relação a .

Passo 3

Para integrar integral x y^2 , dy = x cdot y^33 = x y^33 em relação a , lembramos que a integral de em relação a é . Aplicando essa regra:

Passo 4

Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de x y^33 |y = x^3^y = x = x (x)^33 - x (x^3)^33 e = x cdot x^33 - x cdot x^93 = x^43 - x^103 :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa, que é em relação a integral0^2 ( x^43 - x^103 ) dx :
13 integral0^2 ( x^4 - x^10 ) dx
Podemos fatorar o para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de 13 ( integral x^4 , dx - integral x^10 , dx ) = 13 ( x^55 - x^1111 ) em relação a é :

Passo 7

Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de 13 ( x^55 |0^2 - x^1111 |0^2 ) = 13 ( 2^55 - 2^1111 ) a = 13 ( 325 - 204811 ) :
Calculando as potências:

Resposta

A integral é igual a , que simplifica para aproximadamente .

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