Considere a função
h(x)=rr x, & x >= 3 x^23, & x<3
e calcule os seguintes limites:
lim x 3 h(x)-h(3)x-3
Responda: a função f(x)=h(x)-h(3)x-3 é contínua em 3? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função definida por partes, que é essa:
h(x)=rr x, & x >= 3 x^23, & x<3
O que a gente precisa fazer é calcular o limite:
lim x 3 h(x)-h(3)x-3
E depois responder se a função é contínua em 3. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções definidas por partes e continuidade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de h(3) = 3 . Como a função é definida de duas maneiras, precisamos verificar qual delas se aplica quando .
Como é maior ou igual a 3, usamos a primeira parte da função:

Passo 3

Agora, vamos escrever a função f(x) = h(x) - h(3)x - 3 = h(x) - 3x - 3 que precisamos analisar:
Para encontrar o limite de quando se aproxima de 3, vamos simplificar essa expressão. Mas, como é uma função por partes, vamos considerar os casos quando está próximo de 3 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).

Passo 4

Caso 1: f(x) = x - 3x - 3 = 1 se aproxima de 3 pela direita ( lim x 3^+ f(x) = 1 )
Quando f(x) = x^23 - 3x - 3 = x^2 - 93x - 3 = x^2 - 93(x - 3) , a função x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) . Substituindo na expressão de f(x) = (x - 3)(x + 3)3(x - 3) = x + 33 :
lim x 3^- f(x) = 3 + 33 = 63 = 2
Então, o limite quando se aproxima de 3 pela direita é:
Caso 2: se aproxima de 3 pela esquerda ( )
Quando , a função . Substituindo na expressão de :
Perceba que pode ser fatorado:
Substituindo de volta:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda:

Passo 5

Agora, com os limites laterais calculados:
  • Direita: 1
  • Esquerda: 2
Para que o limite geral exista, esses dois valores precisam ser iguais. Mas aqui não são!

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( lim x 3 h(x)-h(3)x-3 ), o limite geral:
não existe.

Resposta

A função não é contínua em 3 porque os limites laterais quando se aproxima de 3 pela direita e pela esquerda são diferentes. Como o limite geral não existe, a função apresenta uma descontinuidade em .

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