Considere a função
e calcule os seguintes limites:
Responda: a função
é contínua em 3? Por quê?
Responda: a função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função definida por partes, que é essa:
O que a gente precisa fazer é calcular o limite:
E depois responder se a função
é contínua em 3. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções definidas por partes e continuidade. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
. Como a função
é definida de duas maneiras, precisamos verificar qual delas se aplica quando
.
Como
é maior ou igual a 3, usamos a primeira parte da função:
Passo 3
Agora, vamos escrever a função
que precisamos analisar:
Para encontrar o limite de
quando
se aproxima de 3, vamos simplificar essa expressão. Mas, como
é uma função por partes, vamos considerar os casos quando
está próximo de 3 pela direita (
) e pela esquerda (
).
Passo 4
Caso 1:
se aproxima de 3 pela direita (
)
Quando
, a função
. Substituindo na expressão de
:
Então, o limite quando
se aproxima de 3 pela direita é:
Caso 2:
se aproxima de 3 pela esquerda (
)
Quando
, a função
. Substituindo na expressão de
:
Perceba que
pode ser fatorado:
Substituindo de volta:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda:
Passo 5
Agora, com os limites laterais calculados:
- Direita: 1
- Esquerda: 2
Para que o limite geral exista, esses dois valores precisam ser iguais. Mas aqui não são!
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (
), o limite geral:
não existe.
Resposta
A função
não é contínua em 3 porque os limites laterais quando
se aproxima de 3 pela direita e pela esquerda são diferentes. Como o limite geral não existe, a função
apresenta uma descontinuidade em
.
Exercícios relacionados
Seja D a região do plano xOy delimitada pelos gráficos de
e
. Calcule
, aplicando o teorema de Fubini e mostre que o resultado é o mesmo.
Calcule as integrais a seguir:
b)
b)
Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )
Explique por que a função é descontínua no número dado:
em
.