Calcule as integrais a seguir:
a) integral0^1 integral0^3(x+y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a integral dupla integral0^1 integral0^3(x+y) , dy , dx. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é integral0^3(x+y) , dy. Aqui, tratamos x como uma constante e integramos em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular essa integral em relação a y:
integral (x + y) , dy = x cdot y + y^22
Agora, avaliamos de 0 a 3:
[ x cdot 3 + 3^22 ] - [ x cdot 0 + 0^22 ] = 3x + 92

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na integral externa, que é em relação a x:
integral0^1 (3x + 92) , dx
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Integrando termo a termo:
integral 3x , dx = 3x^22
integral 92 , dx = 92x
Agora, avaliamos de 0 a 1:
( 3(1)^22 + 92(1) ) - ( 3(0)^22 + 92(0) ) = 32 + 92 = 6

Resposta

O valor da integral é 6.

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