Seja D a região do plano xOy delimitada pelos gráficos de
e
. Calcule
, aplicando o teorema de Fubini e mostre que o resultado é o mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde D é a região delimitada pelas curvas
e
. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas e o Teorema de Fubini, que nos permite transformar integrais duplas em integrais iteradas (uma de cada vez). Para resolver isso, vamos primeiro entender a região D e depois configurar a integral usando Fubini.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as curvas
e
se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Então,
ou
. Isso significa que as curvas se cortam nos pontos (0,0) e (2,4).
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região D. Entre
e
, a curva
está acima de
, então a região D fica entre essas duas curvas nesse intervalo de x.
Passo 4
Segundo o Teorema de Fubini, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Vamos escolher integrar primeiro em y e depois em x. Então, os limites de y vão de
até
, e os limites de x vão de 0 a 2.
A integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a x, de 0 a 2:
Resposta
A integral dupla
vale
.
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Calcule as integrais a seguir:
b)
b)
Calcule as integrais a seguir:
a)
a)
Considere a função
e calcule os seguintes limites:
Responda: a função é contínua em 3? Por quê?
Responda: a função
Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )