Seja D a região do plano xOy delimitada pelos gráficos de e . Calcule , aplicando o teorema de Fubini e mostre que o resultado é o mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde D é a região delimitada pelas curvas e . Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas e o Teorema de Fubini, que nos permite transformar integrais duplas em integrais iteradas (uma de cada vez). Para resolver isso, vamos primeiro entender a região D e depois configurar a integral usando Fubini.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as curvas e se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Então, ou . Isso significa que as curvas se cortam nos pontos (0,0) e (2,4).

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região D. Entre e , a curva está acima de , então a região D fica entre essas duas curvas nesse intervalo de x.

Passo 4

Segundo o Teorema de Fubini, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Vamos escolher integrar primeiro em y e depois em x. Então, os limites de y vão de até , e os limites de x vão de 0 a 2.
A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a x, de 0 a 2:

Resposta

A integral dupla vale .

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Calcule as integrais a seguir:
b)
Calcule as integrais a seguir:
a)
Considere a função
e calcule os seguintes limites:

Responda: a função é contínua em 3? Por quê?
Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )