Seja D a região do plano xOy delimitada pelos gráficos de y=x^2 e y=2 x. Calcule integral duplaD(x^3+4 y) d A, aplicando o teorema de Fubini e mostre que o resultado é o mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD(x^3+4 y) d A, onde D é a região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas e o Teorema de Fubini, que nos permite transformar integrais duplas em integrais iteradas (uma de cada vez). Para resolver isso, vamos primeiro entender a região D e depois configurar a integral usando Fubini.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as curvas y = x^2 e y = 2x se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
Então, x = 0 ou x = 2. Isso significa que as curvas se cortam nos pontos (0,0) e (2,4).

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região D. Entre x = 0 e x = 2, a curva y = 2x está acima de y = x^2, então a região D fica entre essas duas curvas nesse intervalo de x.

Passo 4

Segundo o Teorema de Fubini, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Vamos escolher integrar primeiro em y e depois em x. Então, os limites de y vão de y = x^2 até y = 2x, e os limites de x vão de 0 a 2.
A integral fica:
integral0^2 integralx^2^2x (x^3 + 4y) dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integralx^2^2x (x^3 + 4y) dy = integralx^2^2x x^3 dy + integralx^2^2x 4y , dy = x^3 (2x - x^2) + 4 [y^22]x^2^2x = x^3 (2x - x^2) + 2 [(2x)^2 - (x^2)^2] = x^3 (2x - x^2) + 2 (4x^2 - x^4) = 2x^4 - x^5 + 8x^2 - 2x^4 = -x^5 + 8x^2

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a x, de 0 a 2:
integral0^2 (-x^5 + 8x^2) dx = -integral0^2 x^5 dx + 8 integral0^2 x^2 dx = -[x^66]0^2 + 8 [x^33]0^2 = -(646 - 0) + 8 (83 - 0) = -646 + 643 = -323 + 643 = 323

Resposta

A integral dupla integral duplaD(x^3+4 y) d A vale 323.

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