Calcule as integrais a seguir: Calcular integral duplaD x y dA na região delimitada pelas curvas y=raizx ; y=0 ; x+y=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla onde queremos calcular integral duplaD x y , dA. A região D está delimitada pelas curvas y=raizx, y=0 e x+y=2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de limites de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região de integração D. Vamos desenhar as curvas:
  • y = raizx é uma parábola aberta para a direita.
  • y = 0 é o eixo x.
  • x + y = 2 é uma linha reta que intercepta os eixos em (2,0) e (0,2).

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração:
  • Igualando y = raizx e x + y = 2, substituímos y:
    raizx + x = 2
    Podemos resolver isso numericamente ou notar que x=1 satisfaz a equação:
    1 + 1 = 2
Então, os pontos de interseção são (1,1) e (0,0).

Passo 4

Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar em y primeiro e depois em x. Para isso, precisamos expressar y em termos de x:
  • y varia de 0 até raizx.
  • x varia de 0 até o ponto onde a linha x + y = 2 intersecta y = raizx, que já determinamos ser x=1.
Mas, na realidade, a região se estende até x + y = 2. Então, para x de 0 a 1, y vai de 0 a raizx, e para x de 1 a 2, y vai de 0 a 2 - x.

Passo 5

Vamos então dividir a integral em duas partes:
  1. De x=0 a x=1, y varia de 0 a raizx.
  2. De x=1 a x=2, y varia de 0 a 2 - x.
Então, a integral fica:
integral duplaD x y , dA = integral0^1 integral0^raizx x y , dy , dx + integral1^2 integral0^2 - x x y , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 integral0^raizx x y , dy , dx
Integrando em y:
integral0^1 [ x y^22 ]0^raizx dx = integral0^1 x (raizx)^22 dx = integral0^1 x cdot x2 dx = integral0^1 x^22 dx
Integrando em x:
[ x^36 ]0^1 = 16

Passo 7

Agora, a segunda integral:
integral1^2 integral0^2 - x x y , dy , dx
Integrando em y:
integral1^2 [ x y^22 ]0^2 - x dx = integral1^2 x (2 - x)^22 dx
Expandindo (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2:
integral1^2 x (4 - 4x + x^2)2 dx = 12 integral1^2 (4x - 4x^2 + x^3) dx
Integrando termo a termo:
12 [ 2x^2 - 4x^33 + x^44 ]1^2
Calculando em x=2:
2(2)^2 - 4(2)^33 + (2)^44 = 8 - 323 + 4 = 12 - 323 = 36 - 323 = 43
Calculando em x=1:
2(1)^2 - 4(1)^33 + (1)^44 = 2 - 43 + 14 = 24 - 16 + 312 = 1112
Subtraindo:
43 - 1112 = 16 - 1112 = 512
Multiplicando pela 12:
12 cdot 512 = 524

Resposta

Somando as duas partes da integral:
16 + 524 = 424 + 524 = 924 = 38
Então, o valor da integral é 38.

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