Calcule as integrais a seguir: Calcular dA na região delimitada pelas curvas

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla onde queremos calcular . A região está delimitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de limites de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região de integração . Vamos desenhar as curvas:
  • é uma parábola aberta para a direita.
  • é o eixo .
  • é uma linha reta que intercepta os eixos em e .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração:
  • Igualando e , substituímos :

    Podemos resolver isso numericamente ou notar que satisfaz a equação:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar em primeiro e depois em . Para isso, precisamos expressar em termos de :
  • varia de até .
  • varia de até o ponto onde a linha intersecta , que já determinamos ser .
Mas, na realidade, a região se estende até . Então, para de a , vai de a , e para de a , vai de a .

Passo 5

Vamos então dividir a integral em duas partes:
  1. De a , varia de a .
  2. De a , varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em :
Integrando em :

Passo 7

Agora, a segunda integral:
Integrando em :
Expandindo :
Integrando termo a termo:
Calculando em :
Calculando em :
Subtraindo:
Multiplicando pela :

Resposta

Somando as duas partes da integral:
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

a) é par.
b) Não é verdade que (3 é par ou 5 é impar).
c) 2 é número par não é verdade que 3 é um número ímpar.
d) , então 2 é par.
e) Se 2 é par ou .
f) Se 2 é par então não é verdade que 3 é par.
a) 5 é primo é ímpar.
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.
c) (Não é verdade que 5 é primo) é par.
d) Não é verdade que (5 é primo ou 4 é ímpar).
Calcule as seguintes derivadas
ã
Ele representa o seguinte argumento: assumindo como verdadeiras a premissa 1 e a premissa 2, pretendemos deduzir que também é verdadeira a conclusão. Um argumento desse tipo será considerado um argumento válido, se a conclusão seguir necessariamente das premissas, isto é, se não for possível termos as premissas verdadeiras a conclusão falsa. Com esse significado, propõe-se o seguinte problema: dadas duas proposições simples e , determine quais dos argumentos abaixo são válidos:
a)
b)
c)
ãã
d)
ãã