Calcule as integrais a seguir: Calcular
dA na região delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla onde queremos calcular
. A região
está delimitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de limites de integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região de integração
. Vamos desenhar as curvas:
-
é uma parábola aberta para a direita. -
é o eixo . -
é uma linha reta que intercepta os eixos em e .
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração:
- Igualando
e , substituímos :
Podemos resolver isso numericamente ou notar quesatisfaz a equação:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar em
primeiro e depois em
. Para isso, precisamos expressar
em termos de
:
-
varia de até . -
varia de até o ponto onde a linha intersecta , que já determinamos ser .
Mas, na realidade, a região se estende até
. Então, para
de
a
,
vai de
a
, e para
de
a
,
vai de
a
.
Passo 5
Vamos então dividir a integral em duas partes:
- De
a , varia de a . - De
a , varia de a .
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em
:
Integrando em
:
Passo 7
Agora, a segunda integral:
Integrando em
:
Expandindo
:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Multiplicando pela
:
Resposta
Somando as duas partes da integral:
Então, o valor da integral é
.