Calcule as integrais a seguir: Calcular
dA na região delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla onde queremos calcular
. A região
está delimitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de limites de integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região de integração
. Vamos desenhar as curvas:
-
é uma parábola aberta para a direita. -
é o eixo . -
é uma linha reta que intercepta os eixos em e .
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração:
- Igualando
e , substituímos :
Podemos resolver isso numericamente ou notar quesatisfaz a equação:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar em
primeiro e depois em
. Para isso, precisamos expressar
em termos de
:
-
varia de até . -
varia de até o ponto onde a linha intersecta , que já determinamos ser .
Mas, na realidade, a região se estende até
. Então, para
de
a
,
vai de
a
, e para
de
a
,
vai de
a
.
Passo 5
Vamos então dividir a integral em duas partes:
- De
a , varia de a . - De
a , varia de a .
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em
:
Integrando em
:
Passo 7
Agora, a segunda integral:
Integrando em
:
Expandindo
:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Multiplicando pela
:
Resposta
Somando as duas partes da integral:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
a)
é par.
b) Não é verdade que (3 é par ou 5 é impar).
c) 2 é número par não é verdade que 3 é um número ímpar.
d) , então 2 é par.
e) Se 2 é par ou
.
f) Se 2 é par então não é verdade que 3 é par.
b) Não é verdade que (3 é par ou 5 é impar).
c) 2 é número par
d)
e) Se 2 é par
f) Se 2 é par então não é verdade que 3 é par.
a) 5 é primo
é ímpar.
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.
c) (Não é verdade que 5 é primo) é par.
d) Não é verdade que (5 é primo ou 4 é ímpar).
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.
c) (Não é verdade que 5 é primo)
d) Não é verdade que (5 é primo ou 4 é ímpar).
Calcule as seguintes derivadas
Ele representa o seguinte argumento: assumindo como verdadeiras a premissa 1 e a premissa 2, pretendemos deduzir que também é verdadeira a conclusão. Um argumento desse tipo será considerado um argumento válido, se a conclusão seguir necessariamente das premissas, isto é, se não for possível termos as premissas verdadeiras
a conclusão falsa. Com esse significado, propõe-se o seguinte problema: dadas duas proposições simples
e
, determine quais dos argumentos abaixo são válidos:
a)
a)
b)
c)
d)