Verifique se a integral a seguir foi calculada corretamente usando derivadas, ou seja:
integral f(x) d x=F(x)+c rightarrow dd x(F(x)+c)=f(x)
Argumente, justificando o porquê a integração está correta ou incorreta, compare o resultado com a função integranda e faça uma conclusão.
integral x^3-x^2-3x^2 d x=x^3-2 x^2+62 x+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma integral pra verificar se foi resolvida direitinho. O enunciado pede pra gente checar se a integral de em relação a realmente resulta em . Vamos usar derivadas para confirmar isso. Precisamos saber como derivar funções e entender a relação entre integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função e depois derivar o resultado deve nos trazer de volta à função original. Ou seja, se é a antiderivada de , então .

Passo 3

Então, vamos pegar a função que supostamente é a antiderivada:
F(x) = x^3 - 2x^2 + 62x + c
Vamos simplificar isso antes de derivar. Dividindo cada termo por F(x) = x^32x - 2x^22x + 62x + c = x^22 - x + 3x + c :

Passo 4

Agora, vamos derivar ddxF(x) = x - 1 - 3x^2 passo a passo. Lembrando das regras de derivação:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de (constante) é 0.
Então:

Passo 5

Vamos comparar essa derivada com a função que está dentro da integral:
f(x) = x^3 - x^2 - 3x^2 = x^3x^2 - x^2x^2 - 3x^2 = x - 1 - 3x^2
Vemos que:
ddxF(x) = f(x)
Ou seja, ao derivar , a gente retorna exatamente à função que estava dentro da integral.

Resposta

A integração está correta porque, ao derivar , obtemos de volta a função . Portanto, o resultado da integral está certo!

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