Verifique se a integral a seguir foi calculada corretamente usando derivadas, ou seja:
Argumente, justificando o porquê a integração está correta ou incorreta, compare o resultado com a função integranda e faça uma conclusão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma integral pra verificar se foi resolvida direitinho. O enunciado pede pra gente checar se a integral de
em relação a
realmente resulta em
. Vamos usar derivadas para confirmar isso. Precisamos saber como derivar funções e entender a relação entre integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função e depois derivar o resultado deve nos trazer de volta à função original. Ou seja, se
é a antiderivada de
, então
.
Passo 3
Então, vamos pegar a função que supostamente é a antiderivada:
Vamos simplificar isso antes de derivar. Dividindo cada termo por
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
passo a passo. Lembrando das regras de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
(constante) é 0.
Então:
Passo 5
Vamos comparar essa derivada com a função que está dentro da integral:
Vemos que:
Ou seja, ao derivar
, a gente retorna exatamente à função
que estava dentro da integral.
Resposta
A integração está correta porque, ao derivar
, obtemos de volta a função
. Portanto, o resultado da integral está certo!