Calcule as integrais a seguir:
(i) integral0^1 21+x^2, d x, com -pi2 (Resposta: pi2)

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente calcule a integral . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais, especificamente integrais que se relacionam com a função arctangente. Vamos precisar usar a fórmula da integral da função para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula importante:
integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C
Onde integral0^1 21+x^2 , dx = 2 integral0^1 11+x^2 , dx é a constante de integração. No nosso caso, temos um 2 na frente da fração, então podemos tirar esse 2 para fora da integral:

Passo 3

Agora, substituímos a integral pelo que sabemos dela:
2 integral0^1 11+x^2 , dx = 2 [ arctan(x) ]0^1
Isso significa que vamos calcular e e depois subtrair os valores.

Passo 4

Sabemos que:
arctan(1) = pi4 e arctan(0) = 0
Então, substituindo na expressão:
2 [ arctan(1) - arctan(0) ] = 2 ( pi4 - 0 ) = pi2

Resposta

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