Calcule as integrais a seguir:
(j) integral x+1x d x (Resposta: x+ln |x|+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x+1x , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar dividir a fração e usar propriedades básicas de integrais, além de lembrar como integrar o logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A fração x+1x pode ser dividida em duas partes:
x+1x = xx + 1x = 1 + 1x
Isso deixa nossa integral mais simples:
integral (1 + 1x) , dx

Passo 3

Agora, podemos separar a integral em duas partes:
integral 1 , dx + integral 1x , dx
Isso nos facilita a resolver cada parte individualmente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo:
  1. A integral de 1 em relação a x é simplesmente x:
integral 1 , dx = x
  1. A integral de 1x em relação a x é o logaritmo natural de |x|:
integral 1x , dx = ln |x|

Passo 5

Agora, juntamos os resultados das duas integrais e adicionamos a constante de integração C:
x + ln |x| + C

Resposta

x + ln |x| + C

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