Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 a 1 usando o método de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que serão
e
na fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral original serão
e
. Uma boa escolha facilita a resolução. Vamos escolher:
Escolhemos
porque ao derivar vamos reduzir o grau do polinômio, o que simplifica as coisas.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
para encontrar
e
:
Mas atenção! A integral de
não tem uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. Isso complica um pouco, mas vamos ver como proceder.
Passo 4
Dado que
não é uma função elementar, precisamos repensar nossa estratégia. Talvez uma substituição seja mais adequada. Vamos tentar uma substituição para simplificar a integral original.
Vamos definir:
Agora, a integral original fica:
Mas como
, podemos expressar
em termos de
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
usando a integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
Então:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Agora, vamos aplicar os limites de 0 a 1:
Resposta
A integral definida de
de 0 a 1 é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(e) .
(e)
Calcule as integrais a seguir:
.
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
a) é a circunferência de centro
e raio 4
Resp.:
a)
Resp.:
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais: