Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
integral0^1 x^3 cdot e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 1 usando o método de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que serão e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral original serão u = x^3 e dv = e^x^2 dx e . Uma boa escolha facilita a resolução. Vamos escolher:
Escolhemos porque ao derivar vamos reduzir o grau do polinômio, o que simplifica as coisas.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx(x^3) dx = 3x^2 dx e integrar v = integral e^x^2 dx para encontrar e :
Mas atenção! A integral de não tem uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. Isso complica um pouco, mas vamos ver como proceder.

Passo 4

Dado que t = x^2 Rightarrow dt = 2x dx Rightarrow x dx = dt2 não é uma função elementar, precisamos repensar nossa estratégia. Talvez uma substituição seja mais adequada. Vamos tentar uma substituição para simplificar a integral original.
Vamos definir:
integral0^1 x^3 cdot e^x^2 dx = integral0^1 x^2 cdot x cdot e^x^2 dx = integral0^1 x^2 cdot e^t cdot dt2
Agora, a integral original fica:
= 12 integral0^1 x^2 e^t dt
x^2 = t
Mas como 12 integral0^1 t e^t dt , podemos expressar em termos de :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral u = t e dv = e^t dt usando a integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
du = dt e v = e^t
Então:
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t + C = e^t(t - 1) + C
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
12 integral0^1 t e^t dt = 12 [ e^t(t - 1) ]0^1
Agora, vamos aplicar os limites de 0 a 1:
12 ( e^1(1 - 1) - e^0(0 - 1) ) = 12 ( e^1(0) - e^0(-1) ) = 12 ( 0 + 1 ) = 12

Resposta

A integral definida de de 0 a 1 é igual a .

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