Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 1 usando o método de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que serão e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral original serão e . Uma boa escolha facilita a resolução. Vamos escolher:
Escolhemos porque ao derivar vamos reduzir o grau do polinômio, o que simplifica as coisas.

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar para encontrar e :
Mas atenção! A integral de não tem uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. Isso complica um pouco, mas vamos ver como proceder.

Passo 4

Dado que não é uma função elementar, precisamos repensar nossa estratégia. Talvez uma substituição seja mais adequada. Vamos tentar uma substituição para simplificar a integral original.
Vamos definir:
Agora, a integral original fica:
Mas como , podemos expressar em termos de :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral usando a integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
Então:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
Agora, vamos aplicar os limites de 0 a 1:

Resposta

A integral definida de de 0 a 1 é igual a .

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(e) .
Calcule as integrais a seguir: .
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
a) é a circunferência de centro e raio 4
Resp.:
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais: