Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente usar o GeoGebra para desenhar o gráfico da curva definida pela equação polar
. Esse tipo de curva é conhecido como um limaçon, e dependendo dos coeficientes, pode ser uma cardioide. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de coordenadas polares, usar o GeoGebra para plotar a curva e identificar suas características.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas que usamos no dia a dia (x e y), nas coordenadas polares usamos
e
, onde
é a distância do ponto ao centro (origem) e
é o ângulo em relação ao eixo positivo x. A equação que temos,
, nos diz como
varia com
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Essa é uma forma específica de limaçon. O termo
indica que a curva terá simetria em relação ao eixo horizontal. O coeficiente de
dividido por 2 afeta a forma da curva, podendo criar um “dimple” ou uma pequena curva recuando, o que nos leva a um limaçon dimpled, diferente da cardioide pura.
Passo 4
Com essa compreensão, vamos para o GeoGebra. Abra o GeoGebra e selecione o modo de gráfico polar. Isso é importante porque nossa equação está em coordenadas polares. No espaço de entrada, insira a equação
. GeoGebra vai automaticamente plotar a curva para você.
Passo 5
Depois de inserir a equação, observe o gráfico gerado. Você vai notar que a curva é simétrica em relação ao eixo x e tem uma forma arredondada com uma pequena “mãozinha” ou dimple. Isso confirma que estamos lidando com um limaçon dimpled, e não uma cardioide perfeita, que ocorreria se o coeficiente de
fosse igual a 1.
Passo 6
Para entender melhor a curva, podemos variar o ângulo
de 0 a
e ver como
muda. Quando
,
, então
. Quando
,
, então
. Isso mostra que o raio varia entre 0.5 e 1.5, criando a forma característica do limaçon dimpled.
Resposta
O gráfico da equação polar
é um limaçon dimpled, simétrico em relação ao eixo horizontal, com variação do raio entre 0.5 e 1.5 unidades, conforme plotado no GeoGebra.
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Determine a equação paramétrica das curvas dadas
a) é a circunferência de centro
e raio 4
Resp.:
a)
Resp.: