Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente usar o GeoGebra para desenhar o gráfico da curva definida pela equação polar . Esse tipo de curva é conhecido como um limaçon, e dependendo dos coeficientes, pode ser uma cardioide. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de coordenadas polares, usar o GeoGebra para plotar a curva e identificar suas características.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas que usamos no dia a dia (x e y), nas coordenadas polares usamos e , onde é a distância do ponto ao centro (origem) e é o ângulo em relação ao eixo positivo x. A equação que temos, , nos diz como varia com .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Essa é uma forma específica de limaçon. O termo indica que a curva terá simetria em relação ao eixo horizontal. O coeficiente de dividido por 2 afeta a forma da curva, podendo criar um “dimple” ou uma pequena curva recuando, o que nos leva a um limaçon dimpled, diferente da cardioide pura.

Passo 4

Com essa compreensão, vamos para o GeoGebra. Abra o GeoGebra e selecione o modo de gráfico polar. Isso é importante porque nossa equação está em coordenadas polares. No espaço de entrada, insira a equação . GeoGebra vai automaticamente plotar a curva para você.

Passo 5

Depois de inserir a equação, observe o gráfico gerado. Você vai notar que a curva é simétrica em relação ao eixo x e tem uma forma arredondada com uma pequena “mãozinha” ou dimple. Isso confirma que estamos lidando com um limaçon dimpled, e não uma cardioide perfeita, que ocorreria se o coeficiente de fosse igual a 1.

Passo 6

Para entender melhor a curva, podemos variar o ângulo de 0 a e ver como muda. Quando , , então . Quando , , então . Isso mostra que o raio varia entre 0.5 e 1.5, criando a forma característica do limaçon dimpled.

Resposta

O gráfico da equação polar é um limaçon dimpled, simétrico em relação ao eixo horizontal, com variação do raio entre 0.5 e 1.5 unidades, conforme plotado no GeoGebra.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais a seguir: .
Calcule as integrais a seguir: .
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
a) é a circunferência de centro e raio 4
Resp.: