Calcule as integrais a seguir:
(a) onde ;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Precisamos calcular a integral definida de -1 a 1 da função , que é definida de maneiras diferentes em dois intervalos: de -1 a 0 e de 0 a 1. Isso significa que vamos dividir a integral em duas partes e resolver cada uma separadamente. Para isso, vamos precisar conhecer as técnicas de integração, como substituição e integração de funções racionais e irracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral de -1 a 0, onde . A integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica da substituição. Observando o denominador , podemos notar que a derivada dele em relação a é , que não coincide exatamente com o numerador . Então, precisamos ajustar a expressão para facilitar a integração.
Vamos fatorar a expressão do denominador:
Mas para simplificar, podemos completar o quadrado ou tentar uma divisão polinomial, mas nesse caso, uma abordagem mais direta é reconhecer que a integral está na forma que podemos aplicar conhecer um logaritmo natural.
Vamos realizar a substituição:
Mas queremos expressar em termos de . Observamos que:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de :
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 0:

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral, de 0 a 1, onde . A integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição . Então:
Precisamos expressar em termos de . Reescrevemos como , e sabemos que . Então:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Aplicamos os limites de 0 a 1:
Para :
Para :
O resultado da integral é:

Passo 4

Agora, vamos somar os resultados das duas integrais que calculamos:
Simplificando:

Resposta

A integral definida de -1 a 1 de é igual a:

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Define-se a convolução de duas funções e por
6.1.
Seja a seguinte integral dupla:
c) É possível calcular a área da região de integração utilizando integrais duplas. Para isso, basta consideramos . Assim calcule a área da região de integração da integral dupla acima.
Ache .
Seja a curva representada pelas equações (Ex11)
Calcule .