Calcule as integrais a seguir:
(a) integral-1^1 f(x) d x onde f(x)=l2 x+14 x^2+12 x-7, se x in[-1,0] x^3raizx^2+9, se x in(0,1];

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Precisamos calcular a integral definida de -1 a 1 da função , que é definida de maneiras diferentes em dois intervalos: de -1 a 0 e de 0 a 1. Isso significa que vamos dividir a integral em duas partes e resolver cada uma separadamente. Para isso, vamos precisar conhecer as técnicas de integração, como substituição e integração de funções racionais e irracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral de -1 a 0, onde integral-1^0 2x + 14x^2 + 12x - 7 , dx . A integral fica:
4x^2 + 12x - 7 = 4(x^2 + 3x) - 7
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica da substituição. Observando o denominador u = 4x^2 + 12x - 7 du = (8x + 12) , dx , podemos notar que a derivada dele em relação a 2x + 1 = 14(8x + 4) é integral 2x + 14x^2 + 12x - 7 , dx = 14 integral 8x + 4u cdot du8x + 12 = 14 ln|u| + C = 14 ln|4x^2 + 12x - 7| + C , que não coincide exatamente com o numerador 14 [ ln|4(0)^2 + 12(0) - 7| - ln|4(-1)^2 + 12(-1) - 7| ] = 14 [ ln| -7 | - ln|4 - 12 - 7| ] = 14 [ ln 7 - ln 15 ] = 14 ln( 715 ) . Então, precisamos ajustar a expressão para facilitar a integração.
Vamos fatorar a expressão do denominador:
Mas para simplificar, podemos completar o quadrado ou tentar uma divisão polinomial, mas nesse caso, uma abordagem mais direta é reconhecer que a integral está na forma que podemos aplicar conhecer um logaritmo natural.
Vamos realizar a substituição:
Mas queremos expressar em termos de . Observamos que:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de :
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 0:

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral, de 0 a 1, onde integral0^1 x^3raizx^2 + 9 , dx . A integral fica:
u = x^2 + 9 du = 2x , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição x^3 , dx = x(u - 9) cdot du2x = u - 92 , du . Então:
integral x^3raizu , dx = 12 integral u - 9raizu , du = 12 integral ( u^1/2 - 9u^-1/2 ) , du
Precisamos expressar 12 ( 23 u^3/2 - 18 u^1/2 ) + C = 13 u^3/2 - 9 u^1/2 + C em termos de 13 (x^2 + 9)^3/2 - 9 (x^2 + 9)^1/2 + C . Reescrevemos 13 (1 + 9)^3/2 - 9 (1 + 9)^1/2 = 13 (10)^3/2 - 9 (10)^1/2 = 13 cdot 10 raiz10 - 9 raiz10 = ( 103 - 9 ) raiz10 = ( 10 - 273 ) raiz10 = -173 raiz10 como 13 (0 + 9)^3/2 - 9 (0 + 9)^1/2 = 13 cdot 27 - 9 cdot 3 = 9 - 27 = -18 , e sabemos que ( -173 raiz10 ) - (-18) = -173 raiz10 + 18 . Então:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Aplicamos os limites de 0 a 1:
Para :
Para :
O resultado da integral é:

Passo 4

Agora, vamos somar os resultados das duas integrais que calculamos:
14 ln( 715 ) + ( -173 raiz10 + 18 )
Simplificando:
18 - 173 raiz10 + 14 ln( 715 )

Resposta

A integral definida de -1 a 1 de 18 - 173 raiz10 + 14 ln( 715 ) é igual a:

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