Calcule as integrais a seguir:
(a)
onde
;
(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado. Precisamos calcular a integral definida de -1 a 1 da função
, que é definida de maneiras diferentes em dois intervalos: de -1 a 0 e de 0 a 1. Isso significa que vamos dividir a integral em duas partes e resolver cada uma separadamente. Para isso, vamos precisar conhecer as técnicas de integração, como substituição e integração de funções racionais e irracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral de -1 a 0, onde
. A integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica da substituição. Observando o denominador
, podemos notar que a derivada dele em relação a
é
, que não coincide exatamente com o numerador
. Então, precisamos ajustar a expressão para facilitar a integração.
Vamos fatorar a expressão do denominador:
Mas para simplificar, podemos completar o quadrado ou tentar uma divisão polinomial, mas nesse caso, uma abordagem mais direta é reconhecer que a integral está na forma que podemos aplicar conhecer um logaritmo natural.
Vamos realizar a substituição:
Mas queremos expressar
em termos de
. Observamos que:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de
:
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 0:
Passo 3
Agora, vamos resolver a segunda parte da integral, de 0 a 1, onde
. A integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição
. Então:
Precisamos expressar
em termos de
. Reescrevemos
como
, e sabemos que
. Então:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Voltando para
:
Aplicamos os limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
O resultado da integral é:
Passo 4
Agora, vamos somar os resultados das duas integrais que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A integral definida de -1 a 1 de
é igual a:
Exercícios relacionados
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.1.
Seja a seguinte integral dupla:
c) É possível calcular a área da região de integração utilizando integrais duplas. Para isso, basta consideramos
. Assim calcule a área da região de integração da integral dupla acima.
Ache
.
Seja
a curva representada pelas equações (Ex11)
Calcule
.