Seja a seguinte integral dupla:
c) É possível calcular a área da região de integração utilizando integrais duplas. Para isso, basta consideramos
. Assim calcule a área da região de integração da integral dupla acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área da região de integração de uma integral dupla. A gente vai usar o conteúdo de integrais duplas, e para isso, vamos considerar a função
. Isso porque, quando
, a integral dupla nos dá exatamente a área da região em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral. A integral é dada por:
Aqui, o
varia de
a
, e para cada valor de
, o
varia de
até
.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Como
, a integral interna fica:
Integrar 1 em relação a
é simples, pois a integral de uma constante é a constante vezes a variável.
Passo 4
Calculando a integral interna:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Agora, vamos integrar
em relação a
.
Passo 6
Calculando a integral externa:
Vamos calcular nos limites de
e
:
Resposta
A área da região de integração é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Ache
.
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.1.
Calcule as integrais a seguir:
(a) onde
;
(a)