Seja a seguinte integral dupla:
integral-1^2 integral0^x+1 f(x, y) d y d x
c) É possível calcular a área da região de integração utilizando integrais duplas. Para isso, basta consideramos f(x, y)=1. Assim calcule a área da região de integração da integral dupla acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área da região de integração de uma integral dupla. A gente vai usar o conteúdo de integrais duplas, e para isso, vamos considerar a função . Isso porque, quando , a integral dupla nos dá exatamente a área da região em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da integral. A integral é dada por:
integral-1^2 integral0^x+1 1 , dy , dx
Aqui, o varia de a , e para cada valor de , o varia de até .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^x+1 1 , dy . Como , a integral interna fica:
Integrar 1 em relação a é simples, pois a integral de uma constante é a constante vezes a variável.

Passo 4

Calculando a integral interna:
integral0^x+1 1 , dy = [y]0^x+1 = (x + 1) - 0 = x + 1
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-1^2 (x + 1) , dx
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 6

Calculando a integral externa:
integral-1^2 (x + 1) , dx = [ 12x^2 + x ]-1^2
Vamos calcular nos limites de ( 12(2)^2 + 2 ) - ( 12(-1)^2 + (-1) ) = ( 2 + 2 ) - ( 12 - 1 ) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 4.5 e :

Resposta

A área da região de integração é unidades quadradas.

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