Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
6.1. mathscrL1 * t^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a transformada de Laplace da convolução entre as funções e . Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformada de Laplace, além da propriedade que relaciona a transformada da convolução com o produto das transformadas individuais.

Passo 2

A convolução de duas funções f * g = integral0^t f(tau) g(t - tau) , dtau e é definida por:
Isso significa que estamos “misturando” as duas funções de uma maneira específica para obter uma nova função.

Passo 3

Uma propriedade importante da transformada de Laplace é que a transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace dessas funções. Ou seja:
mathscrLf * g = mathscrLf cdot mathscrLg
Essa propriedade simplifica bastante nosso cálculo.

Passo 4

Vamos calcular as transformadas de Laplace das funções individuais. Primeiro, para a função constante mathscrL1 = integral0^infty 1 cdot e^-st , dt = 1s :

Passo 5

Agora, para a função mathscrLt^3 = integral0^infty t^3 e^-st , dt = 6s^4 :
Isso é resultado de uma fórmula conhecida para a transformada de .

Passo 6

Aplicando a propriedade da convolução que mencionamos, temos:
mathscrL1 * t^3 = mathscrL1 cdot mathscrLt^3 = 1s cdot 6s^4 = 6s^5

Resposta

mathscrL1 * t^3 = 6s^5

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