Define-se a convolução de duas funções e por
6.1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a transformada de Laplace da convolução entre as funções e . Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformada de Laplace, além da propriedade que relaciona a transformada da convolução com o produto das transformadas individuais.

Passo 2

A convolução de duas funções e é definida por:
Isso significa que estamos “misturando” as duas funções de uma maneira específica para obter uma nova função.

Passo 3

Uma propriedade importante da transformada de Laplace é que a transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace dessas funções. Ou seja:
Essa propriedade simplifica bastante nosso cálculo.

Passo 4

Vamos calcular as transformadas de Laplace das funções individuais. Primeiro, para a função constante :

Passo 5

Agora, para a função :
Isso é resultado de uma fórmula conhecida para a transformada de .

Passo 6

Aplicando a propriedade da convolução que mencionamos, temos:

Resposta

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Seja a seguinte integral dupla:
c) É possível calcular a área da região de integração utilizando integrais duplas. Para isso, basta consideramos . Assim calcule a área da região de integração da integral dupla acima.
Ache .
Calcule as integrais a seguir:
(a) onde ;
Ache .