Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.1.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a transformada de Laplace da convolução entre as funções
e
. Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformada de Laplace, além da propriedade que relaciona a transformada da convolução com o produto das transformadas individuais.
Passo 2
A convolução de duas funções
e
é definida por:
Isso significa que estamos “misturando” as duas funções de uma maneira específica para obter uma nova função.
Passo 3
Uma propriedade importante da transformada de Laplace é que a transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace dessas funções. Ou seja:
Essa propriedade simplifica bastante nosso cálculo.
Passo 4
Vamos calcular as transformadas de Laplace das funções individuais. Primeiro, para a função constante
:
Passo 5
Agora, para a função
:
Isso é resultado de uma fórmula conhecida para a transformada de
.
Passo 6
Aplicando a propriedade da convolução que mencionamos, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja a seguinte integral dupla:
c) É possível calcular a área da região de integração utilizando integrais duplas. Para isso, basta consideramos
. Assim calcule a área da região de integração da integral dupla acima.
Ache
.
Calcule as integrais a seguir:
(a) onde
;
(a)
Ache
.