Calcule as integrais a seguir:
(l) integral raizx^3+raiz[3]x^2-2 x^-13 x d x (Resposta: 29 x^32+12 x^23+23 x^-1+C )
2
Calcule as integrais seguir, por substituição:
(a) integral0^a(x raiza^2-x^2) d x (Resposta: a^33)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na integral que precisamos resolver:
integral0^a (x raiza^2 - x^2) dx
Matéria envolvida: Cálculo de integrais definidas utilizando substituição.
O que vamos precisar: Técnica de substituição para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma substituição. Vamos definir:
u = a^2 - x^2
Por que substituímos assim? Porque a presença de sugere que uma substituição que envolva pode simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx em relação a x , dx = -12 du para encontrar :
Isso nos permite resolver para :

Passo 4

Substituímos integral0^a (x raiza^2 - x^2) dx = integral raizu (-12) du e - 12 integral raizu , du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C em relação a - 12 times 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C :
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Substituímos - 13 (a^2 - x^2)^3/2 + C de volta na expressão:
Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 a .

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
[ -13 (a^2 - x^2)^3/2 ]0^a = -13 (a^2 - a^2)^3/2 + 13 (a^2 - 0)^3/2
Simplificando:
- 13 times 0 + 13 times a^3 = a^33

Resposta

a^33

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