Calcule as integrais seguir, por substituição:
(d) integral 2 x^3(x^4+2)^7 d x (Resposta: (x^4+2)^816+C )

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
integral 2x^3(x^4+2)^7 dx
usando o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer substituições em integrais e aplicar algumas regras básicas de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integral. Observando , percebemos que é útil escolher . Essa escolha simplifica a expressão e facilita a integração.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = x^4 + 2 em relação a dudx = 4x^3 para encontrar du = 4x^3 dx . Se
então a derivada de é
Portanto,

Passo 4

Queremos expressar x^3 dx = du4 em termos de 2x^3 dx = du2 . Da equação anterior, temos
Mas na nossa integral original temos , então multiplicamos ambos os lados por 2:

Passo 5

Substituindo integral 2x^3(x^4+2)^7 dx = integral u^7 cdot du2 = 12 integral u^7 du e na integral original, temos:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 6

Agora, vamos integrar u^n+1n+1 + C . A integral de 12 integral u^7 du = 12 cdot u^88 + C = u^816 + C é
onde é a constante de integração. Assim,

Passo 7

Finalmente, voltamos para a variável original substituindo (x^4+2)^816 + C :

Resposta

(x^4+2)^816 + C

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