Calcule as integrais seguir, por substituição:
(b) integral0^1(x e^-x^2) d x (Resposta: 1-e^-12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma parte dela para ser uma nova variável. Vamos precisar entender um pouco sobre substituição em integrais para facilitar nossa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir. Observando , percebo que o expoente está complicando as coisas. Então, vamos escolher . Essa escolha é estratégica porque a derivada de em relação a vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx :
x , dx = -12 , du
Queremos expressar em termos de . Da equação acima, isolamos :

Passo 4

Agora, substituímos integral0^1 x e^-x^2 , dx = integralu(0)^u(1) e^u cdot (-12) , du e u(0) = -0^2 = 0 u(1) = -1^2 = -1 na integral original:
-12 integral0^-1 e^u , du
Precisamos ajustar os limites de integração para :
Então, a integral fica:

Passo 5

Como os limites estão invertidos, podemos trocar eles e remover o sinal negativo:
12 integral-1^0 e^u , du
A integral de 12 [ e^u ]-1^0 = 12 ( e^0 - e^-1 ) em relação a é simplesmente , então:

Resposta

1 - e^-12

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