Calcule as integrais seguir, por substituição:
(a)
(Resposta:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o método de substituição. O exercício pede para calcular a integral
. Para isso, vamos precisar entender o que é substituição em integrais e como aplicá-la para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples. Observando a integral
, percebemos que
está dentro da raiz quadrada. Vamos chamar essa parte de
:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de
:
Passo 3
Vamos substituir
e
na integral original:
Agora, a integral está mais simples: precisamos integrar
em relação a
.
Passo 4
Integrando
:
Multiplicando pela constante que tínhamos antes:
Agora, substituímos
de volta para
:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
. Vamos calcular:
Simplificando:
Resposta
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