Calcule as integrais seguir, por substituição:
(a) integral0^a(x raiza^2-x^2) d x (Resposta: a^33)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o método de substituição. O exercício pede para calcular a integral integral0^a x raiza^2-x^2 , dx. Para isso, vamos precisar entender o que é substituição em integrais e como aplicá-la para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples. Observando a integral integral x raiza^2-x^2 , dx, percebemos que a^2 - x^2 está dentro da raiz quadrada. Vamos chamar essa parte de u:
u = a^2 - x^2
Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx
Isso nos ajuda a expressar x , dx em termos de du:
x , dx = -12 du

Passo 3

Vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral x raiza^2-x^2 , dx = integral raizu (-12 du) = -12 integral raizu , du
Agora, a integral está mais simples: precisamos integrar raizu em relação a u.

Passo 4

Integrando raizu:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Multiplicando pela constante que tínhamos antes:
-12 cdot 23 u^3/2 = -13 u^3/2 + C
Agora, substituímos u de volta para a^2 - x^2:
-13 (a^2 - x^2)^3/2 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a a. Vamos calcular:
[-13 (a^2 - x^2)^3/2]0^a = -13 (a^2 - a^2)^3/2 + 13 (a^2 - 0)^3/2
Simplificando:
-13 (0)^3/2 + 13 (a^2)^3/2 = 0 + 13 a^3 = a^33

Resposta

a^33

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