Calcule as integrais a seguir: integral raizx ln x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral raizx ln x , dx. Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Esse método nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em outra que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as partes da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = ln x: porque sua derivada é mais simples.
  • dv = raizx , dx = x^1/2 , dx: porque podemos integrá-la facilmente.

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivada de u:
    du = ddx (ln x) , dx = 1x , dx
  • Integral de dv para encontrar v:
    v = integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2

Passo 4

Substituímos esses valores na fórmula de integração por partes:
integral raizx ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
integral raizx ln x , dx = ln x cdot 23 x^3/2 - integral 23 x^3/2 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
integral 23 x^3/2 cdot 1x , dx = 23 integral x^1/2 , dx
Calculando a integral:
23 integral x^1/2 , dx = 23 cdot 23 x^3/2 = 49 x^3/2

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão original:
integral raizx ln x , dx = 23 x^3/2 ln x - 49 x^3/2 + C

Resposta

A integral é:
integral raizx ln x , dx = 23 x^3/2 ln x - 49 x^3/2 + C

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