Calcule:
integral0^pi / 2 sen^2 x d x=pi4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é a integral definida de de até . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma fórmula de redução de potência para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar diretamente pode ser complicado. A gente pode simplificar usando uma identidade trigonométrica chamada fórmula de redução de potência. Ela ajuda a transformar potências de funções trigonométricas em expressões mais fáceis de integrar.

Passo 3

A fórmula de redução de potência para sin^2x = 1 - cos(2x)2 é:
Isso significa que podemos reescrever dessa forma para facilitar a integração.

Passo 4

Agora, substituímos integral0^pi2 sin^2x , dx = integral0^pi2 1 - cos(2x)2 , dx na integral original pela expressão que encontramos:
= 12 integral0^pi2 1 , dx - 12 integral0^pi2 cos(2x) , dx
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Vamos integrar cada parte separadamente:
  1. = 12 [ x ]0^pi2 - 12 [ sin(2x)2 ]0^pi2
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
  1. Para a primeira parte:
[ x ]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2
  1. Para a segunda parte:
[ sin(2x)2 ]0^pi2 = sin(pi)2 - sin(0)2 = 0 - 0 = 0

Passo 7

Substituindo esses valores de volta na expressão:
= 12 cdot pi2 - 12 cdot 0 = pi4

Resposta

integral0^pi2 sin^2x , dx = pi4

Exercícios relacionados