Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é o Método de Integração por Frações Parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fração que temos: . Note que o grau do numerador (que é 4) é maior que o do denominador (que é 3). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir por . Fazendo a divisão, temos:
Mas para simplificar, realizamos a divisão completa e obtemos:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador . Podemos tirar um fator comum de :
Então, a fração agora fica:

Passo 5

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados pela para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:

Passo 7

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações comparando os coeficientes:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: , então e .
  3. Substituindo na primeira equação: , assim .

Passo 9

Agora, substituímos os valores de , e na decomposição:
Simplificando:

Passo 10

Voltando à integral original, temos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 11

Integrando termo a termo:

Passo 12

Juntando todas as integrais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule:
Calcule as integrais a seguir: