Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais: integral x^4-6 x^3+6 x^2-3 x+5x^3-5 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é o Método de Integração por Frações Parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fração que temos: . Note que o grau do numerador (que é 4) é maior que o do denominador (que é 3). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir x^4-6 x^3+6 x^2-3 x+5x^3-5 x^2 = x + (-x^2) + 6 x^2-3 x+5x^3-5 x^2 por x + (-x) + -6x^2 -3x +5 x^3-5x^2 = x + -6x^2-3x+5x^3-5x^2 . Fazendo a divisão, temos:
Mas para simplificar, realizamos a divisão completa e obtemos:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^3-5x^2 = x^2(x - 5) . Podemos tirar um fator comum de -6x^2-3x+5x^2(x - 5) :
Então, a fração agora fica:

Passo 5

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
-6x^2-3x+5x^2(x - 5) = Ax + Bx^2 + Cx - 5
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados pela -6x^2 -3x +5 = A x (x - 5) + B (x - 5) + C x^2 para eliminar os denominadores:
-6x^2 -3x +5 = A x^2 -5A x + B x -5B + C x^2
Expandindo o lado direito:

Passo 7

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
-6x^2 -3x +5 = (A + C)x^2 + (-5A + B)x -5B
Isso nos dá o seguinte sistema de equações comparando os coeficientes:
A + C = -6 -5A + B = -3 -5B = 5

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: , então e .
  3. Substituindo na primeira equação: , assim .

Passo 9

Agora, substituímos os valores de -6x^2-3x+5x^2(x - 5) = 25x + -1x^2 + -325x - 5 , 25x - 1x^2 - 325(x - 5) e na decomposição:
Simplificando:

Passo 10

Voltando à integral original, temos:
integral x^4-6 x^3+6 x^2-3 x+5x^3-5 x^2 , dx = integral ( x + 25x - 1x^2 - 325(x - 5) ) dx
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 11

Integrando termo a termo:

Passo 12

Juntando todas as integrais:
12x^2 + 25 ln|x| + 1x - 325 ln|x - 5| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 12x^2 + 25 ln|x| + 1x - 325 ln|x - 5| + C é igual a:

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