Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é o Método de Integração por Frações Parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na fração que temos: . Note que o grau do numerador (que é 4) é maior que o do denominador (que é 3). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.
Passo 3
Vamos dividir por . Fazendo a divisão, temos:
Mas para simplificar, realizamos a divisão completa e obtemos:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador . Podemos tirar um fator comum de :
Então, a fração agora fica:
Passo 5
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 6
Multiplicando ambos os lados pela para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Passo 7
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações comparando os coeficientes:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo na segunda equação: , então e .
Substituindo na primeira equação: , assim .
Passo 9
Agora, substituímos os valores de -6x^2-3x+5x^2(x - 5) = 25x + -1x^2 + -325x - 5 , 25x - 1x^2 - 325(x - 5) e na decomposição:
Simplificando:
Passo 10
Voltando à integral original, temos:
integral x^4-6 x^3+6 x^2-3 x+5x^3-5 x^2 , dx = integral ( x + 25x - 1x^2 - 325(x - 5) ) dx
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 11
Integrando termo a termo:
Passo 12
Juntando todas as integrais:
12x^2 + 25 ln|x| + 1x - 325 ln|x - 5| + C
Onde é a constante de integração.
Resposta
A integral 12x^2 + 25 ln|x| + 1x - 325 ln|x - 5| + C é igual a: