Calcule as integrais a seguir: integral e^x-e^-xe^x+e^-x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral de . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que o denominador é similar à função hiperbólica cosseno, mas sem precisar conhecer essa função, podemos proceder com uma substituição direta.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja:
u = e^x + e^-x
Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = e^x - e^-x em relação a du = (e^x - e^-x) , dx :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral e^x - e^-xe^x + e^-x , dx = integral duu
Agora, a integral ficou mais simples.

Passo 5

A integral de integral duu = ln|u| + C é uma função logarítmica:
onde é a constante de integração.

Resposta

Substituindo ln|e^x + e^-x| + C de volta, a integral é:

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