Calcule:

Passo 1

Vamos calcular a integral de em relação a . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especificamente integrais de funções racionais que envolvem logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dentro da integral: . Notamos que o denominador é uma função linear de , ou seja, do tipo . Nesse caso, podemos usar uma substituição simples para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição onde:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará :
Podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
A integral de em relação a é o logaritmo natural de , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral de em relação a é:

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Calcule onde .
Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:
Calcule as integrais a seguir: