Calcule as integrais a seguir:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de uma função que é uma fração:
Esse tipo de problema está relacionado a cálculo integral, especificamente integrais racionais. Para resolver, a gente vai precisar fazer uma divisão polinomial e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 4 e o denominador é de grau 3. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir por :
  1. Dividendo:
  2. Divisor:
Começamos dividindo por , o que dá . Multiplicamos o divisor por e subtraímos do dividendo:

Passo 4

Agora, dividimos por , resultando em . Multiplicamos o divisor por e subtraímos novamente:
Portanto, a divisão nos dá:

Passo 5

Agora, a integral fica dividida em duas partes:
As duas primeiras integrais são simples de resolver:

Passo 6

Agora, vamos resolver a terceira integral:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, reescrevemos a fração:

Passo 7

Vamos encontrar os valores de , e usando frações parciais:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo na primeira equação: .

Passo 8

Agora, a fração pode ser escrita como:
Vamos integrar cada termo:

Resposta

A integral calculada é igual a:

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