Calcule as integrais a seguir: integral x^4-6 x^3+6 x^2-3 x+5x^3-5 x^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de uma função que é uma fração:
integral x^4-6x^3+6x^2-3x+5x^3-5x^2 , dx
Esse tipo de problema está relacionado a cálculo integral, especificamente integrais racionais. Para resolver, a gente vai precisar fazer uma divisão polinomial e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 4 e o denominador é de grau 3. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir (x^4 - 6x^3 + 6x^2 - 3x + 5) - (x^4 - 5x^3) = -x^3 + 6x^2 - 3x + 5 por :
  1. Dividendo:
  2. Divisor:
Começamos dividindo por , o que dá . Multiplicamos o divisor por e subtraímos do dividendo:

Passo 4

Agora, dividimos (-x^3 + 6x^2 - 3x + 5) - (-x^3 + 5x^2) = x^2 - 3x + 5 por x^4-6x^3+6x^2-3x+5x^3-5x^2 = x - 1 + x^2-3x+5x^3-5x^2 , resultando em . Multiplicamos o divisor por e subtraímos novamente:
Portanto, a divisão nos dá:

Passo 5

Agora, a integral fica dividida em duas partes:
integral (x - 1 + x^2-3x+5x^3-5x^2) dx = integral x , dx - integral 1 , dx + integral x^2-3x+5x^3-5x^2 , dx
As duas primeiras integrais são simples de resolver:
integral x , dx = x^22 e integral 1 , dx = x

Passo 6

Agora, vamos resolver a terceira integral:
integral x^2-3x+5x^3-5x^2 , dx
Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 - 5x^2 = x^2(x - 5)
Então, reescrevemos a fração:
x^2-3x+5x^2(x - 5) = Ax + Bx^2 + Cx - 5

Passo 7

Vamos encontrar os valores de x^2-3x+5 = A x (x - 5) + B (x - 5) + C x^2 , x^2-3x+5 = A x^2 - 5A x + B x - 5B + C x^2 e (A + C) x^2 + (-5A + B) x - 5B = x^2 - 3x + 5 usando frações parciais:
A + C = 1 -5A + B = -3 -5B = 5
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo na primeira equação: .

Passo 8

Agora, a fração pode ser escrita como:
2/5x + -1x^2 + 3/5x - 5
Vamos integrar cada termo:
integral (2/5x - 1x^2 + 3/5x - 5) dx = 25 ln|x| + 1x + 35 ln|x - 5|

Resposta

A integral calculada é igual a:
x^22 - x + 25 ln|x| + 1x + 35 ln|x - 5| + C

Exercícios relacionados