Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de uma função que é uma fração:
Esse tipo de problema está relacionado a cálculo integral, especificamente integrais racionais. Para resolver, a gente vai precisar fazer uma divisão polinomial e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os graus do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 4 e o denominador é de grau 3. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Passo 3
Vamos dividir
por
:
- Dividendo:
- Divisor:
Começamos dividindo
por
, o que dá
. Multiplicamos o divisor por
e subtraímos do dividendo:
Passo 4
Agora, dividimos
por
, resultando em
. Multiplicamos o divisor por
e subtraímos novamente:
Portanto, a divisão nos dá:
Passo 5
Agora, a integral fica dividida em duas partes:
As duas primeiras integrais são simples de resolver:
Passo 6
Agora, vamos resolver a terceira integral:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, reescrevemos a fração:
Passo 7
Vamos encontrar os valores de
,
e
usando frações parciais:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
- De
, temos . - Substituindo
na segunda equação: ↨ ↨ . - Substituindo
na primeira equação: ↨ .
Passo 8
Agora, a fração pode ser escrita como:
Vamos integrar cada termo:
Resposta
A integral calculada é igual a: