Usando o Método das Cascas Cilíndricas, determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo que envolve o Método das Cascas Cilíndricas. A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para saber onde elas se encontram. A equação representa uma parábola invertida e a linha é o eixo . Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
Então, ou . Portanto, a região que vamos rotacionar está entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método das Cascas Cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo e usamos integrals envolvendo . A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é a distância do elemento à rotação (eixo ).
  • é a função que define a altura da casca cilíndrica.
  • e são os limites de integração.

Passo 4

Aplicando os valores do nosso problema:
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Vamos calcular os valores da antiderivada nos limites de 0 a 2:

Passo 8

Por fim, multiplicamos o resultado da integral por :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido que resulta da rotação em torno do eixo da região sob a curva de zero até 1 .
Calcule as integrais a seguir:
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.