Usando o Método das Cascas Cilíndricas, determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo que envolve o Método das Cascas Cilíndricas. A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas para saber onde elas se encontram. A equação
representa uma parábola invertida e a linha
é o eixo
. Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
Então,
ou
. Portanto, a região que vamos rotacionar está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método das Cascas Cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo
e usamos integrals envolvendo
. A fórmula geral para o volume
usando esse método é:
Onde:
-
é a distância do elemento à rotação (eixo ). -
é a função que define a altura da casca cilíndrica. -
e são os limites de integração.
Passo 4
Aplicando os valores do nosso problema:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Vamos calcular os valores da antiderivada nos limites de 0 a 2:
Passo 8
Por fim, multiplicamos o resultado da integral por
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que resulta da rotação em torno do eixo
da região sob a curva
de zero até 1 .
Calcule as integrais a seguir:
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.