Determine o volume do sólido que resulta da rotação em torno do eixo
da região sob a curva
de zero até 1 .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e quais conhecimentos vamos utilizar. Temos que determinar o volume de um sólido que se forma quando rotacionamos a região sob a curva
em torno do eixo
, no intervalo de
até
.
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, uma técnica de cálculo que nos permite encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisaremos compreender como aplicar integrais para somar infinitos discos com pequenas espessuras que, juntos, formam o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando rotacionamos uma curva em torno de um eixo, cada pequeno pedaço da curva se torna um disco. O volume de cada um desses discos pode ser calculado, e ao somarmos todos eles, obtemos o volume total do sólido.
A fórmula geral para o volume
usando o método dos discos é:
Onde:
-
é a função que define a curva. -
e são os limites de integração, ou seja, os valores de entre os quais vamos calcular o volume.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, e os limites de integração são de
a
. Então, substituindo na fórmula:
Simplificando
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
A integral de
em relação a
é:
Então, avaliando entre
e
:
Passo 5
Multiplicando o resultado da integral por
, temos o volume total:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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e
.
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