Mostre que a equação y dx + (2 x - y e^y) dy = 0 não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Determine o fator integrante e depois resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a equação diferencial não é exata. Depois, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata e, finalmente, resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para uma equação da forma , ela é exata se .
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um método comum é procurar um fator que dependa apenas de , ou apenas de . Vamos tentar com um fator que depende de , ou seja, .
A condição para que o fator torne a equação exata é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Percebemos que essa expressão ainda depende de , o que complica. Então, vamos tentar um fator que depende de , ou seja, .
Aplicando a condição para :
Mas ainda temos uma dependência de que não queremos. Então, vamos tentar outro método: assumir que o fator integrante tem a forma , e ajustar os cálculos.

Passo 4

Vamos multiplicar a equação original por , que é uma tentativa comum para eliminar o termo presente na equação.
Multiplicando cada termo por :
Agora, vamos verificar se essa nova equação é exata.
Calcular as derivadas parciais:
Derivadas:
Comparando, vemos que:
Portanto, ainda não é exata. Vamos tentar outro fator.

Passo 5

Vamos tentar com o fator integrante .
Multiplicando a equação original por :
Agora, recalculamos as derivadas parciais:
Derivadas:
Para a equação ser exata, precisamos que :
Como isso não é válido para todos os , o fator também não funciona. Vamos tentar um fator diferente.

Passo 6

Vamos tentar um fator integrante do tipo , onde é uma constante a ser determinada.
Multiplicando a equação original por :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Derivadas:
Para ser exata:
Isso não resolve de forma geral, então precisamos tentar outro método.

Passo 7

Vamos tentar encontrar um fator integrante geral. A condição para o fator é:
Assumindo que depende apenas de , temos:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher , então o fator integrante é .

Resposta

Encontramos que o fator integrante é . Multiplicando a equação original por , a equação torna-se exata. Resolver essa equação exata nos leva à solução geral da equação diferencial.
A solução final é:
onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados