Mostre que a equação
não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Determine o fator integrante e depois resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a equação diferencial
não é exata. Depois, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata e, finalmente, resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para uma equação da forma
, ela é exata se
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um método comum é procurar um fator que dependa apenas de
, ou apenas de
. Vamos tentar com um fator que depende de
, ou seja,
.
A condição para que o fator
torne a equação exata é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Percebemos que essa expressão ainda depende de
, o que complica. Então, vamos tentar um fator que depende de
, ou seja,
.
Aplicando a condição para
:
Mas ainda temos uma dependência de
que não queremos. Então, vamos tentar outro método: assumir que o fator integrante tem a forma
, e ajustar os cálculos.
Passo 4
Vamos multiplicar a equação original por
, que é uma tentativa comum para eliminar o termo
presente na equação.
Multiplicando cada termo por
:
Agora, vamos verificar se essa nova equação é exata.
Calcular as derivadas parciais:
Derivadas:
Comparando, vemos que:
Portanto, ainda não é exata. Vamos tentar outro fator.
Passo 5
Vamos tentar com o fator integrante
.
Multiplicando a equação original por
:
Agora, recalculamos as derivadas parciais:
Derivadas:
Para a equação ser exata, precisamos que
:
Como isso não é válido para todos os
, o fator
também não funciona. Vamos tentar um fator diferente.
Passo 6
Vamos tentar um fator integrante do tipo
, onde
é uma constante a ser determinada.
Multiplicando a equação original por
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Derivadas:
Para ser exata:
Isso não resolve de forma geral, então precisamos tentar outro método.
Passo 7
Vamos tentar encontrar um fator integrante geral. A condição para o fator
é:
Assumindo que
depende apenas de
, temos:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
, então o fator integrante é
.
Resposta
Encontramos que o fator integrante é
. Multiplicando a equação original por
, a equação torna-se exata. Resolver essa equação exata nos leva à solução geral da equação diferencial.
A solução final é:
onde
é uma constante de integração.