Calcule as integrais a seguir: integral0^+infty e^-x sen x d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de integração que combina exponenciais com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma integral do tipo , existe uma fórmula específica para resolver. Essa fórmula nos ajuda a integrar produtos de funções exponenciais e funções seno ou cosseno.

Passo 3

A fórmula geral para ba^2 + b^2 é:
Essa fórmula vem da aplicação da integração por partes ou de métodos de números complexos, mas não precisamos entrar em detalhes agora. Basta saber que ela nos dá o resultado direto para esse tipo de integral.

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de integral0^+infty e^-x sin x , dx e na nossa integral original. No nosso caso, a integral é:
Aqui, e .

Passo 5

Aplicando a fórmula com 11^2 + 1^2 = 11 + 1 = 12 e :

Resposta

O valor da integral é .

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